一个抛物型方程反问题的全变差正则化方法

发布时间：2021-06-20 08:04

这篇文章主要研究了一个在获得终端观测值的情况下,反演一个二阶抛物型方程未知参数的反问题。在反问题的求解中,最大的难点是处理其不适定性。关于求解不适定问题的方法,目前主要的解决方式为Tikhonov正则化方法;最早于20世纪60年代,由苏联数学家A.N.Tikhonov提出,从而开辟了反问题和不适定问题研究的新时代。但是Tikhonov正则化方法要求所求的正则化解具有一定的光滑性,并用它来近似原问题的解。而在实际的物理模型中原问题的解往往不够光滑(如在图像恢复过程中保留图像的边界),如何根据这一条件得到解的存在性、唯一性及其稳定性是这篇文章研究的重点之所在。本文从最优控制理论的角度出发,采用了全变差正则化方法进行了处理,并结合对正问题的分析,推出了关于未知系数所满足的必要条件,进而证明了最优解的唯一性及其稳定性,并成功的反演了未知系数在可能存在奇性的条件下的数值解。本文主要包括以下四个部分:第一章是绪论部分,首先简要介绍了反问题的发展历程、研究背景及其国内外研究现状,其次介绍了本文所做的主要工作。第二章主要从理论的角度研究了一个抛物型方程的参数反演问题。文章利用全变差正则化方法对问题P进行了研究,并在最优化理论框架下将原问题转化为一个最优控制问题Q,进而证明了极小元的存在性和极小元所满足的必要条件。最后在必要条件的基础上证明了极小元的唯一性和稳定性。第三章为数值模拟部分,本章以第二章的理论分析为基础,设计了全变差迭代算法,并在MATLAB中进行了模拟,从而验证了理论分析的有效性。这一章共分为两小节,第一小节为算法的设计部分,第二小节为数值实验部分。在数值实验中为了突出当1)()为非光滑函数时,全变差正则化方法的反演效果,我们还与传统的Landweber迭代法作了对比。第四章对全文进行总结和展望。总结了本文的主要研究成果,并对下一步的研究工作做了展望。由于本文中所考虑的问题P为一个一维抛物型系统的反问题,而对于高维情形,通常对应于更为广泛的实际应用领域,因此对于高维系统的研究是今后我们工作的一个方面。其次本文中设计的算法对正则化参数的敏感性要求较高,所以后续还须对算法做进一步改进,争取寻找出一种更加有效和简便的数值算法。
【学位授予单位】：兰州交通大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O241.82

文章目录

摘要

Abstract

第一章绪论

1.1 概述

1.2 反问题的研究现状

1.3 本文的主要工作

第二章参数反演的最优化问题及极小元的稳定性

2.1 最优化问题的提出

2.2 极小元的存在性

2.3 极小元满足的必要条件

2.4 唯一性和稳定性

2.5 本章小结

第三章迭代法和相应的数值模拟

3.1 全变差迭代法的提出

3.2 数值实验

3.3 本章小结

第四章总结与展望

4.1 主要的研究总结

4.2 进一步研究展望

致谢

参考文献

攻读学位期间的研究成果

【参考文献】