双容水箱上的几种液位控制实验及被控对象的数学模型

发布时间：2016-07-22 19:03

本文关键词：双容水箱上的几种液位控制实验及被控对象的数学模型，由笔耕文化传播整理发布。

２００６年４月北京师范大学学报（自然科学版）；Ａｐｒ．２００６第４２卷第２期；ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎ；ＶｏｌＩ４２Ｎｏ．２；双容水箱上的几种液位控制实验及；被控对象的数学模型＊；王志新１渤；谷云东２’＋；王加银１’；宋雯彦１’；（１）北京师范大学数学科学学院；２）北京师范大学；３）中国青年政治学院，１０００８９，北京）；摘要介绍了双

２００６年４月北京师范大学学报（自然科学版）

Ａｐｒ．２００６第４２卷第２期

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

ＶｏｌＩ４２Ｎｏ．２

双容水箱上的几种液位控制实验及

被控对象的数学模型＊

王志新１渤

谷云东２’＋

王加银１’

宋雯彦１’

（１）北京师范大学数学科学学院；２）北京师范大学管理学院：１００８７５，北京；

３）中国青年政治学院，１０００８９，北京）

摘要介绍了双容水箱液位控制实验仪的实物系统装置；面向不同的实际背景，设计了几种典型的控制实验，并用机制分析法分别建立了被控对象的数学模型；分析了上述被控对象的能控性和能观性．

关键词液位控制；数学模型；能控性；能观性分类号Ｏ

２３２

液位控制问题是工业生产过程中的一类常见问１双容水箱液位控制实验仪实物系统

题，例如在饮料、食品加工，溶液过滤，化工生产等多种装置介绍

行业的生产加工过程中都需要对液位进行适当的控制［１。２］．在实际生产中，通常采用系统辨识的方法，用一如图１所示，双容水箱液位控制实验仪主要由２阶纯滞后系统来逼近复杂的实际系统，建立一个简化个柱形水箱，１个蓄水箱，２个抽水泵，２个出水口和５的数学模型［３］．然而对于一些控制精度要求较高的场个比例控制阀门组成，其中柱形水箱分别设有进水和合，例如核电站的蒸汽生成器中的液位控制问题等［４］，出水阀门，并且２水箱之间有连接阀．蓄水箱中有２个需要建立较精确的数学模型，以提高控制的精度［５－１０］．

出水口，分别与水泵１和水泵２相连．

本文针对实际生产系统中的液体罐装容器的液位在实验过程中，蓄水箱中的水被泵１、泵２抽出后控制问题，借助双容水箱液位控制实验仪的实物系统分别经过比例阀１、比例阀２进入柱形水箱１和柱形装置，面向不同的实际背景，设计了几种典型控制实水箱２，然后分别通过各自的出水阀门（比例阀３和比验，并用机理分析法分别建立了被控对象的较精确的例阀４）流回蓄水箱中．２个柱形水箱的进水流量和出数学模型，最后对上述系统中被控对象的能控性和能水流量可分别由４个比例阀门进行调节．特别地，２个观性进行了分析．

柱形水箱之间设有比例连接阀，通过调节连接阀的开

节流口１

控制器

Ｉ节流口２水泵１

比例阀１

Ｉ

液位传感器

Ｉ液位传感大器Ｉ

Ｉ比例阀２

水泵２

比例连接阀

水箱１

水箱２

比例阀３

比例阀４

董查笪

圈１双容水箱液位控制实验仪系统结构

＊国家“九七三”重大基础研究计划资助项目（２００２ＣＢ３１２２００）；教育部科学技术重点资助项目（０３１８４）；教育部博士点基金资助项目

（２００２００２７０１３）；国家自然科学基金资助项目（６０４７４０２３）

十通讯作者

收稿日期：２００５—０９—０２

第２期王志新等：双容水箱上的几种液位控制实验及被控对象的数学模型

１２７

度大小可以改变２个柱形水箱之间的水流量．２双容水箱液位控制实验的实验设计

及被控对象的数学模型

根据实际问题的不同需要，可以借助双容水箱液位控制实验仪完成多项控制实验．例如随机出水的单水箱供液系统液位控制实验、随机入水的单水箱排液系统液位控制实验以及单一入水的双水箱供（排）液系统液位控制实验等．下面根据实际工业生产过程的需要，设计几种不同的液位控制实验方案，并分别给出其被控对象的数学模型．

２．１随机出水的单水箱供液系统液位控制实验及其

被控对象的数学模型在某些特殊液体，例如啤酒灌

装机的贮液缸内存在等压的气相区和液相区，贮液缸内液位的变化会直接影响到机器的正常运转和机器的

生产能力，以至影响啤酒的质量和产量，因此需要适当

调节送液阀开度来维持液位高度，以保证生产的正常运转［１１｜．这些不同背景的实际问题都可看作是随机出水的单水箱供液系统液位控制问题．为此，设计了如下随机出水的单水箱供液系统液位控制实验．

实验系统的结构如图２所示．它由双容水箱实验仪的一个水箱，一个液位传感器，一个出水阀门，一个入水阀门以及作为控制器的计算机组成．该实验系统的被控对象是装有入水阀门和出水阀门的单容水箱，被控量是液位．控制器根据液位传感器检测的液位信号与设定值之间的偏差发出调控信号，调节人水阀门的开度，从而调整水箱入水量，使得液位保持在设定值．实验内容是设计合适的控制器，在出水存在干扰的情况下，调节入水流量，使得液位维持在一个设定值．

面２

图２单水箱液位控制实验系统结构

下面建立该实验中被控对象的数学模型．设某时刻的水箱的进出水流量分别为Ｑｉ。和Ｑ。。，水箱的液位高度记为Ｈ，Ｃ表示水箱的横截面积．

首先，选定状态变量为液位高度Ｈ，输入变量为

某时刻的水箱入水流量Ｑｈ，Ｑ‰。是被控对象的干扰．容易看出，某时刻进水流量与出水流量之差等于水箱内液体体积的变化率，即

ｃ半一ＱＩ。一Ｑ。。．

（１）

这样，我们便得到了随机出水的单容水箱供液系统的

数学模型．

２．２随机入水的单水箱排液系统液位控制实验及其

被控对象的数学模型在一些液体的处理过程中，例如：乙烯工程污水处理厂的自动排水处理场，流入蓄水池的液体流量是随机变化的，通过调节液体的出水流量来调整蓄水池的液位高度［１２］．这些实际问题可看作是随机入水的单水箱排液系统液位控制问题．为此，设计了如下随机入水单水箱排液系统液位控制实验．

实验系统的结构与图２相同．实验研究入水阀门处有干扰信号的单水箱液位控制问题．实验系统的被控对象是一个装有入水阀门和出水阀门的一个水箱，被控量是液位．控制器根据传感器检测的液位信号与设定值之间的偏差发出调控信号，调节出水阀门的开度，改变出水的流量，从而调整水箱液位高度，使得水箱的液位保持在一个设定的值。实验内容是设计合适的控制器，使得在人水存在干扰的情况下，调节出水流量，使得水箱的液位保持设定值．

下面建立被控对象的数学模型．首先，选定状态变量为液位高度Ｈ，输入变量为出水阀门处的电压Ｕ，Ｑｉ。是系统的干扰信号．然后，对于水箱的情况进行分析．参见２．１节实验的分析可得式（１）．接下来选择入水截面ｌ和出水截面２之间的水流体作为分析对象，根据流体力学分析中常用的伯努利方程［１３］

譬＋础＋警柏一。，

（２）

也就是入水截面与出水截面之间的流体的动能、位能和压力能应该是守恒的．△扩是入水截面水流速度ｕ．ｍ的平方与出水截面水流速度仉。的平方之差，Ａｚ是人水截面与出水截面之间的高度差，Ａｐ是入水截面与出水截面之间的压力差，ｈｒ表示水头的损失（也称为

阻力损失），在这里ｈｆ—ｅ百Ｌ／Ｏｕｔ．式中的ｅ是局部阻力损

失系数，对于确定的管道和固定开度的阀门，可以取一个常数．在容器液面高度变化缓慢时，在每个微小的时

间间隔内，可以应用动量守恒公式，Ａ，Ｖｉ。一Ａ。Ｙｏｕ。，由

于人水截面面积Ａ－》出水截面面积Ａｚ，‰可被忽略．那么，整理可得

％。。＝ｌｅｄ－耳．

又由出水阀门是一个比例阀门，则出水阀流量蕊可

１２８

北京师范大学学报（自然科学版）第４２卷

以表示为Ｑｏ。。＝ａＵ佰，

其中【，表示施加在出水阀门上的电压，ａ是阀门节流系数，在阀门的线性区域，理是一个常系数．这样一来，随机入水单水箱排液系统液位控制实验被控对象的数

学模型可以写作

ｆ掣一Ｑ—ａＬ，厄

（３）

Ｕ厶

２．３单一入水的双水箱排液系统液位控制实验及其被控对象的数学模型在实际排液系统中，在用水流

量比较大的情况下，系统需要再添加一个储水箱，用以平抑液位的变化．这样的问题可以看作是一个单一入水的双水箱排液系统液位控制问题．为此，设计单一人水的双水箱排液系统液位控制实验，系统结构图如图３所示．

图３双水箱液位控制实验系统结构

实验系统由双容水箱实验仪的２个有入水阀门和出水阀门的连通水箱，２个传感器，以及作为控制器的微机组成．实验研究的问题是单一入水干扰的双容水箱液位控制问题．

实验系统的被控对象是两个连通的水箱，被控量是２个液位．控制器根据传感器检测的液位信号与设定值之间的偏差发出调控信号，调整出水阀门（阀１）的开度和水箱连接阀（阀ｏ）的开度，从而调整水箱１出水流量和水箱之间的流量，使得２个水箱保持一定的液位，此时水箱１的入水有干扰信号，水箱２入水阀关闭且水箱２出水阀关闭或保持适当的开度不变．实验内容是在水箱１的入水有干扰的情况下，设计合适的控制策略调整水箱１的出水流量和水箱之间的流量，使得水箱中的液位维持在设定值．

下面建立被控对象的数学模型．设定Ｈ。和Ｈ。

为水箱１和水箱２的液位高度，瓯为水箱１的入水流

量，Ｑｏ。。－和Ｑ０。ｔｚ分别为水箱ｌ和水箱２的出水流量，Ｑｏ表示由水箱１流入水箱２的流量，ｃ１，Ｃ２分别表示水箱１和水箱２的横截面积，口０和口。分别表示阀０和阀１

的阀门节流系数，砜和Ｕ，分别表示在阀０和阀１上

施加的电压，ｋ表示阀２的阀门系数．

首先，选定状态变量为水箱１和水箱２液位高度Ｈ，和Ｈ。，输入变量为在阀０和阀１上施加的电压Ｕ。和Ｕ－，Ｑｉ。为系统的干扰信号．

参照实验２．２单容水箱排液系统的分析可得水箱

１的数学模型为

Ｃ１—ｄＨＦｌ一Ｑｌ。一口ｌＵｌ何一％ｕ。、仃五＝币７，

（４）

水箱２的数学模型为

Ｃ２

Ｔｄｌ－ｌｚ一％砜棚百＝酉一志刃瓦

（５）

综上所述，我们设计了３种不同的液位控制实验，并分别建立了被控对象的数学模型．

３双容水箱实验系统的能控能观性分析

如果在一个有限的时间间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态Ｘ（ｔ。）转移到任意状态，则称该系统在时刻ｔ。是能控的．如果每一个状态都能控，则称该系统为状态完全能控的．如果系统的状态Ｘ（ｔ。）在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在ｔ。时刻是能观的．如果每一个状态都能观，则称该系统为状态完全能观的［１

４｜．

下面分析上述单水箱实验系统的能控性和能观性．不失一般性，设置终止状态为状态空间原点，并设ｆ掣一Ｑｉ。．‘ｄｆ一”

约束控制量Ｑｉ。可以使得系统在有限的时间间隔内由（３）可得

ｃ掣一一口ｕ屑，‘出一

““Ｖ“’２、仔页万一口ｌ“Ｕ（ｔ）ｄｔ．

（６）

Ｊ０

４｜，所以随机出水的单水箱供液系向量，则上述系统都是能观的．

初始时刻为零．对于随机出水的单水箱供液系统来说，

不考虑系统的输入干扰信号，根据式（１）可得

容易看出，无干扰的随机出水的单水箱供液系统的无任意的状态转移到状态空间原点．对于随机入水的单水箱排液系统，不考虑系统的输入干扰信号，根据式

公式两边积分可得

可见，无干扰的随机入水的单水箱排液系统的无约束控制量甜（ｆ）可以使得系统在有限的时间间隔内由任意的状态转移到状态空间原点．由于增加外扰信号不改变系统的能控性［１统和随机入水的单水箱排液系统都是能控的．进一步，选择系统的输出就是水箱液位高度的变化量，即状态

第２期

王志新等：双容水箱上的几种液位控制实验及被控对象的数学模型

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为了分析单一入水的双水箱排液系统的能控性和能观性，我们将水箱模型进行线性化．在系统稳态工作点（百ｉ。，开，，霄。，玩，Ｉｏ）处，水箱１的线性化方程为

ｏ一一下ａｏＵｏ￣／再＿二酉＋ｃｒ０、／—Ｈ１－－—Ｈ２Ｕ０＋

—＿＝垒坚（Ｈ】一Ｈ２）．

２￣／Ｈ１一Ｈ２

ｃ。警一瓦＋ｑｉｎ－－０１１

２√Ｈｌ

６

４Ｆ？ｕ，一

旦坠Ｈ，＋哗Ｉｌ—Ｏｏ，

ｍ

注意到液阻的定义：设有一液流，流过连接２个液体容器的管路，则管路上的阀门等节流部件的液阻定义为，产生单位流量变化所需的液位差变化．令Ｒｏ表示水箱１和水箱２之间连接阀门的液阻，Ｒ，和Ｒ。分别表示出水阀门１和阀门２的液阻，则

水箱２的线性化方程为

ｃｚ百ｄＨ２一Ｑｏ

其中，ｑｉｎ表示人水处的微小流量变化，萄。表示在稳定工作点附近水箱ｌ流入水箱２的流量，即

由此，单一入水的双水箱排液系统的线性化状态方程可以写作义＝ＡＸ＋ＢＵ的形式：

ｃ－警一萄ｉｎ＋ｑａ－－ａｌＵｌ何＋学一等一％Ｕ０厄面一丁（Ｈ１－－Ｈ２）＋学，，㈤ｆ。百ｄＨ２～ＵｏＪ一－Ｈ，Ｒ，＋掣一亟争互一ｋｚ，／霄７一面８２．

液系统的微分方程组可以写作：

自膏

一

ｋ厄一警．

慝

，一毪

一

１

将液阻的定义引入微分方程，则单一入水的双水箱排

Ｒｏ＿警，Ｒ１一糍，Ｒ２一华．

］

一

ｒ

，一凰

』上ｌ［挣ｐ１巴～而０

Ｒｏ

Ｒ２．Ｊ

。

Ｃ－１

华职＋半佤面伯。

一：霜匮卜

一％￣／Ｈ１一Ｈ２

Ｊ：：‘ｌ

ｒｒ

％￣／Ｈｌ—Ｈ２－Ｊ

一半丽一Ｔｋ，／Ｙ；

（８）

关于单一入水的双水箱排液系统的能控能观性，我们有如下的结论：

命题１对单一入水的双水箱排液系统，设其状态变量Ｘ（ｆ）为某时刻２个水箱液位高度Ｈ，和Ｈ。，控制量Ｕ（￡）为施加在水箱１出水阀门处的电压Ｕ。和水箱之间阀门处的电压氓，水箱１的入水流量Ｑｉ。是该系统的干扰，输出变量ｙ（￡）为两个水箱液位高度ｙｔ和ｙｚ，则该系统是能控且能观的．

证根据被控对象的状态方程（８），可令Ｍ一［ＢＡＢ－］，即

Ｍ＝＝

１厄咄丽ａ－瓜（击＋击）（¨ｌＫ２船丽

ＣＡ］Ｔ，容易验证，

中的控制品质．

。ｃｒｏ而面一簪一（去＋如何面

５参考文献

［１］

Ｈ。ｒｔ。ｎＥｃ，Ｆｏｌｅｙ

（９）

容易验证，矩阵Ｍ的秩是２，是满秩矩阵．由能控性判据可知系统是能控的．令Ｎ一［Ｃ知系统是能观的．证毕．

４

验的设计分析提供了基础，可用于测试由各种不同蕴含算子［１５－１８３构造的控制算法在上述几种液位控制实验

矩阵Ｎ的秩是２，即Ｎ是满秩矩阵．由能观性判据可

，｜、结

本文根据生产加工过程中的实际背景，设计了随

Ｍｗ，ＫｗｏｋＫＥＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ

ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ。ｆｌｅｖｅｌｃ。ｎｔｒ０１１ｅｒｓＩ－Ｊ］?Ｉｎｔｅｒｎａｔｉ。ｎａｌＪｏｕｒｎａｌ

机出水的单水箱供液系统，随机人水的单水箱排液系统以及单一入水的双水箱排液系统等典型的液位控制实验，分别建立了被控对象的数学模型．随后，证明了这些实验系统的能控能观性．上述２１２作为控制仿真实

［。］篙竺慧ｉ三烹ｎ：嚣絮芝℃盂等鬈三０：：：？

。。ＥＸｐｅ。ｉｍ。ｎｔａｌｖａｌｉｄａｔｉ。ｏｎｏｆａ。ｎｏｎｌｉｎｅａ。ｂａｃｋｓｔ‘ｅｐｐｉｎｇｌｉｑｕｉｄ

ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｆｏｒ

ａ

ｓｔａｔｅ

ｃｏｕｐｌｅｄ

ｔｗｏｔａｎｋ

ｓｙｓｔ锄［Ｊ］．

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ＥＸＰＥＲＩＭＥＮＴＳｏＮＤｏＵＢＬＥ—ＴＡＮＫ

ＰＬＡＮＴＳ

ＳＹＳＴＥＭ

Ｗａｎｇ

（１）Ｓｃｈｏｏｌｏｆ

ＡＮＤＴＨＥ

ＭＯＩＤＥＬＩＮＧＯＦＴＨＥＳＥ

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Ｊｉａｙｉｎｌ’

Ｚｈｉｘｉｎｌ＇３’

ＧｕＹｕｎｄｏｎ９２’

Ｃｏｌｌｅｇｅ

Ｓｏｎｇ

Ｗｅｎｙａｎｌ’

ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ；２）ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｎａｇｅｍｅｎｔ：ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，１００８７５，Ｂｅｉｊｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ；

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ｆｏｒＰｏｌｉｔｉｃａｌ

Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，１０００８９，Ｂｅｉｊｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ）

ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅ

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ｈａｒｄｗａｒｅ

ｓｙｓｔｅｍｏｆｄｏｕｂｌｅｃｏｕｐｌｅｄｗａｔｅｒｔａｎｋｓｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｓｅｖｅｒａｌｌｅｖｅｌｃｏｎｔｒｏｌ

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ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ

ｄｅｓｉｇｎｅｄｉｎｖｉｅｗｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓ

ａｒｅ

ｈａｒｄｗａｒｅｓｙｓｔｅｍｏｆ

ａｒｅ

ｄｏｕｂｌｅｃｏｕｐｌｅｄｗａｔｅｒｔａｎｋｓｕｎｄｅｒｃｏｎｔｒｏｌｖｅｒｉｆｉｅｄ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ

ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙａｎｄｏｂｓｅｒｖａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍ

ｌｅｖｅｌｃｏｎｔｒｏｌ；ｓｙｓｔｅｍｍｏｄｅｌｉｎｇ；ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ；ｏｂｓｅｒｖａｂｉｌｉｔｙ

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