若干领域中几类非线性模型的解析研究

发布时间：2020-05-15 09:08

【摘要】：世界在本质上是非线性的。自然界中存在着大量的、复杂的非线性现象。人们研究这些非线性现象的方法主要是通过建立合适的非线性模型,然后对这些非线性模型进行分析,依此来揭示非线性现象的本质。基于符号计算,本文解析研究了大气物理、光纤通信、生物物理以及流体力学等领域中的一些非线性模型的性质。本文的研究内容主要有:(1)在第二章中,研究了大气物理中的一个变系数Korteweg-de Vries模型。基于Lax对,在一些变系数条件下,给出了无穷守恒律。根据由Lax对得来的Ricaati方程,推导出了 Wahlquist-Estabrook类型的Backlund变换,非线性叠加公式,以及单和双孤子解,根据Painleve截断展开法,给出了 Painlev6类型的Backlund变换以及相应的单孤子解,且根据双线性形式,构造了双线性形式的Backlund变换。(2)在第三章中,研究了一个五阶非线性Schrodinger模型,该模型可以描述光纤通信中的阿托秒脉冲的传播。基于Lax对,推导出了无穷守恒律。借助辅助函数,采用双线性方法和符号计算,得到了双线性形式、单、双和三孤子解。基于这些孤子解,图像模拟了两个孤子之间以及三个孤子之间的碰撞。图像分析表示两个孤子之间的碰撞是弹性的,三个孤子之间的碰撞是成对弹性的。通过稳定性分析,得出了孤子解的调制不稳定性条件。(3)在第四章中,研究了一个可以描述α螺旋蛋白质分子中的能量传输现象的四阶非线性Schrodinger模型。对于这个模型,推导出了其Lax对和无穷守恒律。采用双线性方法,得到了单、双、三和N孤子解。通过解析分析,发现孤子的速度与晶格参数成线性关系,但是孤子的方向和振幅却与晶格参数没有关系。最后,图像模拟了两个孤子之间和三个孤子之间的多种类型的碰撞。(4)在第五章中,研究了一个可以描述非线性双折射光纤中波的传播现象的变系数相干耦合的非线性Schrodinger模型。基于Lax对,构造了该模型的Darboux变换以及矢量单和双孤子解。借助图像,讨论了矢量孤子的传播和碰撞的特性以及模型中的变系数对矢量孤子的影响。(5)在第六章中,研究了流体力学中的一个广义的3+1维变系数Kadomtsev-Petiashvili 模型。采用 Painleve 截断方法构造了其自 Back-lund变换。利用该自Backlund变换并采用Hirota双线性方法推导了其双线性形式。然后,基于不同的变系数条件,借助双线性形式,构造了其单和双Wronski行列式形式的N孤子解,并给出了几种双孤子解表达式,且借助图像分析了两个孤子之间的聚合和分裂现象。最后,利用双线性形式构造了同宿呼吸波解和畸形波解,同时图像模拟了同宿呼吸波和畸形波,且发现畸形波是同宿呼吸波的极限行为。(6)在第七章中,从动力系统的角度研究了两种非线性模型:流体力学中的2+1维破裂孤子模型和光纤通信中受扰动的非线性Schrodinger模型。然后,采用定性分析方法构造了两种模型的二维平面动力系统。最后,分析了不同条件下动力系统的相平面,根据非线性模型与动力系统之间的关系得到了两种模型的解析解的特性,且给出了非线性Schrodinger模型解析解的表达式。
【图文】：

孤子,参数取值

图邋３－１邋单孤子，解（３＾１６）中的参数取值为邋ｐ邋＝邋０．６邋＋邋０．也，７７邋＝邋０．１，（ａ）：邋ａ邋＝邋（５邋＝邋７邋＝邋１；邋（ｂ）：邋ａ邋＝邋５，逡逑５邋＝邋－ｙ邋＝邋１；邋（ｃ）：邋７邋＝邋—５，邋ａ邋＝邋５邋＝邋１；邋（ｄ）：邋Ｓ邋＝邋—１，邋ａ邋＝邋７邋＝邋１．逡逑基于双孤子解表达式（３－１７），我们将双孤子之间的碰撞展示在图３－２至图３－４中。逡逑在图３－２（ａ）中我们可以看到，，由于两个孤子的速度（％和巧）满足％巧＜邋０，两个孤逡逑子之间可以发生迎面碰撞。然而，当巧巧＞0时，我们在图３－３（ａ）中观察到了追击碰逡逑撞：有着较小振幅的孤子移动的很快，最后追赶上了有着大振幅的孤子。与此同时，我逡逑们注意到它们之间的碰撞是弹性的。正如在图３－２（ｂ）和图３－３（ｂ）中所看到的，在碰撞逡逑前后两个孤子的速度、振幅和宽度都没有发生改变。图３－４中展示的是两个同速度的逡逑孤子周期地吸引和排斥着彼此形成了一个束缚态。图３－４（ａ）和图３－４（ｂ）的主要不同来逡逑源于两个孤子的速度：它们的速度在图３－４（ａ）中是非零的，而在图３－４（ｂ）中却为零。逡逑八邋ＩＵ逡逑Ｓ逦－２０逦０逦２０逦＇逡逑（ａ）逦（ｂ）逡逑图３－２⑷：两个孤子之间的迎面碰撞，解（３＞１７）中的参数取值为Ｐｌ邋＝邋０．８邋＋邋０．３ｉ，邋ｐ２邋＝邋０．８－０．３ｉ，逡逑＝邋？？２邋＝邋０．１，ａ邋＝邋５邋＝邋７邋＝邋１；邋（ｂ）：邋（ａ）在邋ｔ邋＝邋－１２，邋一１邋时邋６邋

孤子,参数取值,束缚态

图邋３－４邋束缚态，解（３－１７）中的参数取值为邋ａ邋＝邋５邋＝邋７邋＝邋１，ｒ？ｉ邋＝邋％邋＝邋０，⑷：／＞ｉ邋＝邋０．８邋＋邋０＿３５ｉ，逡逑ｐ２邋＝邋１邋＋邋0－３５ｉ；邋（ｂ）邋：邋ｐｉ邋＝邋０．６邋＋邋０．９７０７ｉ，邋ｐ２邋＝邋０．７邋＋邋１．０７１５ｚ0逡逑图３－５为我们展示了基于三孤子解表达式（３－２０）的三个孤子之间的碰撞：图３－５（ａ）逡逑中是两种迎面碰撞和一种追击碰撞，而图３－５（ｂ）展示出了三种追击碰撞。在图３－５（ｃ）逡逑中，我们观察到了一种不同图３－５（ａ）和图３－５（ｂ）的弹性碰撞，这种碰撞是一个束缚态逡逑和一个单独的孤子之间的相互作用：这个束缚态和单独的孤子在不引起任何振幅和速逡逑度的变化的条件下穿过彼此。图３－５（ｄ）是三个孤子之间形成的束缚态，且这三个孤子逡逑相互周期地吸引和排斥着。图３－５（ａ）和（ｂ）中展示的所有碰撞都是弹性的，孤子的速逡逑度、振幅和宽度都保持不变。逡逑４１逡逑
【学位授予单位】：北京邮电大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：N93

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