不同边界条件下热方程的解法与应用

发布时间：2020-12-07 00:11

　　科学与工程领域中的许多问题都可用偏微分方程来描述,偏微分边值问题广泛的应用于探讨多种学科领域的多种问题。在实际生产过程中,一般工业界通过在大型生产设备的特定位置安装传感器,来获取设备运行时的一些数据。然后利用这些数据,通过建立精确稳定的数值模型来模拟内部状态以实现对设备的实时监控,从而保证高效、安全的生产。热传导方程作为抛物型偏微分方程最典型的例子,不仅可用来描述热传导过程,也可支配多种反应扩散过程,诸如液体的流动、金融资产的定价模型、生物分子的运动或辐射衰减、神经细胞的动作电势、生物种群的迁移、传染病的扩散以及飞行器的保护与冷却等。针对不同情况下的热传导问题,很多数值求解方法得以提出并获得了不断的改进优化。本文基于对热传导方程在不同边界条件下的数值解法研究现状的介绍,以一维热方程为例,从固定边界的热方程解法、及其在移动边界问题和随机过程模拟中的应用方面做了理论方法的探究和仿真数值实例。本文先对固定边界的热方程的四种不同的数值解法（包括有限差分法、谱方法、蒙特卡洛方法和镜像法）做了理论介绍、误差分析和仿真模拟试验;然后引入移动边界问题的概念,采用有限差分法和谱方法的改进格式对一维的St... 

【文章来源】：山东大学山东省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：74 页

【学位级别】：硕士

【部分图文】：

图２－１?ｘ?＝?－Ｌ为反射边界时镜像法示意图??２．完全吸收边界??

?山东大学硕士学位论文???．?广＇Ａ??ｘ＝－２Ｌ?ｘ＝－Ｌ?ｘ＝０??图２－１?ｘ?＝?－Ｌ为反射边界时镜像法示意图??２．完全吸收边界??假设Ｘ?＝?－Ｌ处有一吸收边界，此时求解以下方程组：??）ｄｔ?ｄｘ２??ｊｕ｜ｔ＝０?＝?Ｍ８｛ｐｃ）??＾?ｕ＼ｘ＝－Ｌ?＝?〇??同理，如图２－２，可得如上的，此时，这两者相减即为??满足边界条件的热方程的解：??，?、?Ｍ?１?ｖ２?１??／＇Ｊａ??Ｉ?ＩＩ?ＩＩＩ，?＊?＾￣－ｗ?．?Ｉ?１?Ｉ?Ｉ?ｎ?｜?｜??ｘ＝－２Ｌ?ｘ＝－Ｌ?ｘ＝０??图２－２?ｘ?＝?－Ｌ为完全吸收边界时镜像法示意图??３．两条边界??假设在ｘ?＝?－Ｌ，ｘ?＝?＋Ｌ处有两条边界，首先求解以下方程组：??ｒ?ｄｕ?ｄ２ｕ??ｄｔ?＾ｄｘ２??＇?ｕ｜￡＝０?＝?ＭＳ（ｘ）??ｄｕ?ｄｕ??＾ｌｘ＝－Ｌ?＝?ｄ＾ｌｘ＝＋Ｌ?＝?°??由上小节推断可知，为了满足ｘ?＝?－Ｌ处零通量的边界条件，需要在??ｘ?＝?－２Ｌ增加一个镜像源。同理，为了满足ｘ?＝?＋Ｌ处零通量的边界条??—２０—??

ｅ－＾＋（４ｎ－２）Ｄ２?＋?ｅ－４ｋ＾＋４ｎＬ）２ｊ??Ａｙ＾４ｎＤｔ?ｎＴ＾ｏｏ??／?＼?／?＼?／?＼??ｉ?ｉ????｜?｜?｜?ｔ?ｌ?ｉｉｔｉ???１?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｒ?ｉ??ｘ＝－２Ｌ?ｘ＝－Ｌ?ｘ＝０?ｘ＝Ｌ?ｘ＝２Ｌ??，?＼?ｚ?，，??Ｉ?｜?．－＾＊｜?Ｉ?Ｉ?Ｉ?Ｉ?１?Ｌ?Ｉ?Ｉ?Ｉ?１?卜Ｉ?Ｉ?Ｉ?１?｜?ｄ?Ｉ??ｘ＝－２Ｌ?ｘ＝－Ｌ?ｘ＝０?ｘ＝Ｌ?ｘ＝２Ｌ??图２－３存在两条边界时的镜像法示意图??—２１?—??

【参考文献】：
期刊论文
[1]基本解方法求解一类热传导方程移动边界问题[J]. 李玉山.  自动化与仪器仪表. 2015(02)
[2]镜像法及其应用[J]. 朱仁龙.  上海师范大学学报(自然科学版). 1994(03)
[3]求热导方程移动边界问题近似解的一个方法[J]. 周本濂,Murray Wachman,吉新华.  应用数学学报. 1987(01)
[4]Stefan问题的数值解法[J]. 忻孝康.  水动力学研究与进展. 1986(01)

博士论文
[1]求解热传导正问题及反问题的数值方法研究[D]. 牛瑞萍.太原理工大学 2017
[2]偏微分方程两类边值问题的定性分析[D]. 张洋.哈尔滨工业大学 2015
[3]几类随机偏微分方程与Kolmogorov方程的相关问题研究[D]. 石雨.华中科技大学 2015

硕士论文
[1]多介质界面改进数值模拟方法研究[D]. 童石磊.中国工程物理研究院 2016



本文编号：2902252