随机微分方程最优控制理论的若干问题

发布时间：2017-10-12 08:29

  本文关键词：随机微分方程最优控制理论的若干问题

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【摘要】：上世纪50年代,庞特里亚金及他的团队推导出最大值原理,这是最优控制理论的一个里程碑.任何的最优控制和它的最优状态轨线都必须满足所谓的哈密顿系统.哈密顿系统由一个两点边值问题(也可以叫做正倒向微分方程)加上一个方程(哈密顿方程)的最大值条件构成.最大值原理的数学意义在于,哈密顿系统的最大化比原始的无限维中的最优控制问题更容易解决.庞特里亚金最大值原理的原始形式是针对确定型的问题.在推导最大值原理时,人们用“针状变分”来描述最优控制,然后考虑这一摄动的泰勒展式的一阶项.将这一摄动趋于零,人们得到了一类变分不等式.然而在研究随机型的最大值原理时,人们发现,如果扩散项中同时含有控制u,那么Ito随机积分的阶数变成了(?),这样一来,普通的一阶变分方法就失效了.为了克服这一困难,人们不得不引入针状变分泰勒展式的二阶项,并给出一个包含随机哈密顿系统的随机最大值原理.本文研究的是几种不同形式的随机最大值原理.第一章中,对于随机微分方程的历史发展以及本文的一些相关工作做了简单的介绍.在第二章中,我们给出了由分数阶布朗运动驱动的带有时滞的随机微分方程的最大值原理.在第二章第二节中,给出了一些分数阶的基本定义和计算.在第二章第三节中,我们给出了关于方程解的适定性的定理：作为第二章中的主要结论,我们在第二章的第四节中得到了如下结果,其给出了最大值原理的必要性条件：定理0.0.2假设b,σ满足第二章中的假设(A1)和(A2),(x*(t),u*(t))是问题(C)的最优解对.那么下面的可料的倒向随机微分方程成立:进而,我们得到在第二章的第五节,我们给出了这一结果在线性二次问题中的应用.我们用Ekeland变分原理以及方程的凸性来证明线性二次问题解的存在唯一性,并给出最大值原理的必要性条件,这些由如下两个定理给出：定理0.0.3令(x(t),u(t))∈Λ为如下系统属性不符方程(0.0.1)的对偶方程如下:在第三章中,我们介绍了由a稳定的Levy过程驱动的随机微分方程.同第二章的结构类似,我们先给出了方程解的适定性,定理如下：定理0.0.5令b和σ为可测的函数,满足第三章中的假设(H1)和(H2),T0,并且T对于X(0)是独立的.那么随机微分方程有唯一解X(t).在第三章第三节中,我们给出解的一些估计.在第四节中,我们给出了最大值原理的充分必要条件.这就是下述两个定理：定理0.0.6令第三章中的假设(H1)和(H2)成立.(x*(t),矿(t))为允许解对,(y(t),z(t)满足方程定理0.0.7假设b,σ满足第三章的第五节,我们给出一个线性二次问题作为应用.通过求解Riccati方程来得到反馈控制的具体表达式,这就是如下定理：定理0.0.8如果随机Riccati方程存在一个解,那么3.5节中的随机线性二次问题是适定的.
【关键词】：随机微分方程 最优控制 庞特里亚金最大值定理 对偶方程 变分方程 α稳定 时滞 分数阶计算
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O211.63
【目录】：

• 中文摘要4-11
• Abstract11-18
• 第一章 绪论18-30
• 1.1 研究背景及本文主要工作18-20
• 1.2 最大值原理的相关理论20-25
• 1.3 几种不同类型的最大值原理25-30
• 第二章 由分数阶布朗运动驱动的带有时滞的随机微分方程的最大值原理30-48
• 2.1 引言30-32
• 2.2 预备知识32-35
• 2.3 解的适定性35-38
• 2.4 最大值原理的必要条件38-41
• 2.5 例子41-48
• 第三章 可控的分数阶Fokker-Planck方程的最大值原理48-62
• 3.1 引言48-50
• 3.2 解的适应性50-53
• 3.3 解的估计53-56
• 3.4 最大值原理56-59
• 3.5 线性二次方程的应用59-62
• 参考文献62-68
• 作者简介及在学期间所取得的科研成果68-70
• 后记和致谢70-71

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本文编号：1017697