奇异摄动问题的多尺度高效数值模拟研究

发布时间：2017-10-17 19:30

  本文关键词：奇异摄动问题的多尺度高效数值模拟研究

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【摘要】：科学计算是与理论研究、科学试验并重的三大主要科学研究方式,其重要性日益突显.奇异摄动问题的摄动参数很小时导致失去边界条件,面对大量多尺度边界层现象往往无法有效求解,因此研究其高效数值模拟有重要意义.多尺度问题及其方法是现今科学计算的重点和热点,人们在计算精度和计算代价之间寻找合理平衡的解决途径,一直在探索既能够保证计算精度、又可以节约计算资源的新数值方法来处理复杂多尺度问题.本博士论文的内容安排如下：第一章介绍奇异摄动问题和现行的多尺度计算方法,阐述数值计算结合自适应技术的重要意义,并给出文中所需的记号、定义和重要不等式.第二章给出相关理论分析,分别探讨传统有限元解与多尺度有限元解的存在性和收敛性.第三章以一维对流扩散方程为对象,研究多尺度有限元法处理奇异摄动问题的数值模拟优势.利用原问题的微分算子构造子问题求解多尺度基函数,能在宏观尺度有效地反映出微观信息,进而通过有限元格式得到有效的数值模拟.考虑基于误差估计的自适应型网格,构建特殊的Shishkin、Graded、Bakhvalov网格,通过数值实验展现出多尺度有限元法精确的、高效的计算优势.第四章以二维反应扩散方程为对象,探究Galerkin、Petrov-Galerkin多尺度有限元格式的高效数值逼近.通过理论分析,证明了多尺度有限元解的稳定性和收敛性.不同于Galerkin格式,Petrov-Galerkin多尺度格式给出独立构建的试探函数空间与检验函数空间,从而提供更丰富的多尺度基函数嵌入选择.无论针对常系数问题还是变系数问题,在自适应型的计算网格上无需特殊技巧,我们的方法能自动消除多尺度共振误差,在粗网格上就得到不依赖于摄动系数ε大小的、一致高阶收敛的高效数值模拟.第五章针对时空间强振荡的抛物型方程,建立与时间相关的全离散化多尺度计算格式,通过多尺度基函数自动反映出问题本身的强振荡性.采用Euler向后差分隐格式,形成并求解大规模方程组,因此仅在粗网格运算、所需的计算存储量和计算时间都大为缩减,其数值优势益发明显.本文已得到了一些有意义的理论和数值结果,今后还将在后验误差构造高效能计算格式、多相流问题的多尺度有限元计算、数值程序包的并行化运算和模块化集成等方面继续开展研究.
【关键词】：多尺度计算 多尺度有限元方法 奇异摄动 边界层现象 强振荡模拟 对流扩散模型 反应扩散模型 时空间抛物型问题 特殊网格
【学位授予单位】：扬州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 中文摘要6-8
• Abstract8-12
• 第一章 奇异摄动问题和自适应多尺度方法介绍12-20
• 1.1 奇异摄动问题12-13
• 1.2 自适应技术13-14
• 1.3 多尺度计算方法14-20
• 第二章 相关理论分析20-34
• 2.1 传统有限元收敛性分析20-26
• 2.2 多尺度有限元收敛性分析26-34
• 第三章 一维对流扩散模型的多尺度方法34-42
• 3.1 模型问题与变分形式34-36
• 3.2 多尺度基函数36-37
• 3.3 特殊网格构建37-38
• 3.4 多尺度有限元的数值方法38-42
• 第四章 二维反应扩散模型的多尺度逼近42-70
• 4.1 模型问题与特殊网格42-44
• 4.2 Galerkin多尺度有限元逼近44-54
• 4.3 Petrov-Galerkin多尺度有限元逼近54-62
• 4.4 变系数反应扩散方程的多尺度数值模拟62-70
• 第五章 时空间强振荡抛物型方程的多尺度高效模拟70-78
• 5.1 强振荡的抛物型问题70-73
• 5.2 时间相关的全离散多尺度格式73-74
• 5.3 多尺度有限元的高效模拟和数值优势74-78
• 参考文献78-86
• 在学期间发表文章目录86-87
• 简历87-88
• 致谢88-89

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本文编号：1050623