含Hardy-Sobolev临界指数的非线性椭圆方程和系统的解

发布时间：2017-10-21 17:24

  本文关键词：含Hardy-Sobolev临界指数的非线性椭圆方程和系统的解

  更多相关文章： Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式 Hardy-Sobolev临界指数 椭圆系统 基态解 正则性和对称性

【摘要】：著名的Caffarelli-Kohn-Nirenberg(CKN)不等式(Compos. Math.,1984)包含了经典的Sobolev不等式和Hardy不等式作为特例,它在泛函分析、偏微分方程等数学分支研究里是一个非常重要的不等式。CKN不等式中的等号是否取到、最佳常数为多少、达到函数是什么样子的或者具有什么样的性质等问题是近三十多年来分析与非线性方程领域中许多专家非常关心的问题,很多著名的数学家在这方面做出了大量杰出的贡献。本文旨在利用变分法和椭圆方程的理论,研究与CKN不等式有关的含Hardy-Sobolev临界指数的方程和方程组。包括最小能量解的存在性和非存在性问题,正解的存在性问题,无穷多解、变号解的存在性问题,以及解的正则性、对称性、衰减估计等性质的研究。首先,我们考虑一类有界区域上涉及Hardy-Sobolev临界指数的非线性Schrodinger方程,研究了方程形式上满足“最高次幂方项的系数是负的”这种情形正解的存在性问题。在国际上给出了Li Yanyan和Lin Changshou在文献(Arch. Ration. Mech. Anal.,2012)中提出的公开问题的第一个回答。另外对于带有双Hardy-Sobolev临界指数项的次临界扰动问题,我们研究了基态解或正解的存在性。建立了对一般区域均适用的一系列重要的插值不等式,并成功应用来证明了锥上的一类CKN不等式的最佳常数是可达的。同时将上面问题的研究成果推广到无界区域的情形,这是这类方程在无界区域(非极限区域)上的首次尝试。同时在RN上考虑了有多重Hardy-Sobolev临界指数的方程,发展了Lions的集中紧思想,并结合扰动方法研究了基态解的存在性问题,系统地研究了正解的正则性、对称性、衰减估计等性质。另外,我们还研究了椭圆系统的情形,这是对涉及Hardy-Sobolev临界指数的椭圆系统方面的第一次尝试。我们首次获得了这类系统基态解的存在性、唯一性、对称性、正则性、衰减性估计等一系列成果。其中的一些结果将成为研究这类系统的根本性定理。
【关键词】：Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式 Hardy-Sobolev临界指数 椭圆系统 基态解 正则性和对称性
【学位授予单位】：清华大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.25
【目录】：

• 摘要3-4
• Abstract4-9
• 主要符号对照表9-11
• 第1章 引言11-19
• 1.1 选题背景和意义11-13
• 1.2 研究现状简介13-17
• 1.3 本文研究的问题17-19
• 第2章 准备工作19-37
• 2.1 预备知识19-36
• 2.1.1 Sobolev空间中的一些嵌入和紧嵌入定理19-24
• 2.1.2 变分法中的一些重要定理24-26
• 2.1.3 一些重要不等式26-31
• 2.1.4 Pohozaev恒等式31-34
• 2.1.5 极值原理34-36
• 2.2 一些约定36-37
• 第3章 与Li-Lin公开问题有关的一类涉及Hardy-Sobolev临界指数的非线性偏微分方程37-76
• 3.1 问题介绍和主要结果37-41
• 3.2 准备工作41-52
• 3.3 定理3.1-3.4中正解存在性的证明52-61
• 3.3.1 定理3.1条件下正解的存在性：0∈(?)Ω,λ>0,μ_(s_2)(Ω)=μ_(s_2)(R~N)52-53
• 3.3.2 定理3.2条件下正解的存在性：0 ∈(?)Ω,λ>0,μ_(s_2)(Ω)=μ_(s_2)(R_+~N)53
• 3.3.3 定理3.3条件下正解的存在性：0 ∈(?)Ω,λ>0,μ_(s_2)(Ω)<μ_(s_2)(R_+~N)53
• 3.3.4 定理3.4条件下正解的存在性：O ∈(?)Ω,λ<0,μ_(s_2)(Ω)<μ_(s_2)(R_+~N)53-61
• 3.4 基态解的存在性61-64
• 3.5 定理3.5的证明64-72
• 3.6 定理3.6的证明72-76
• 第4章 一类涉及到双Hardy-Sobolev临界指数的扰动非线性椭圆偏微分方程76-107
• 4.1 问题介绍和主要结果76-80
• 4.2 Nehari流形80-87
• 4.3 与紧性相关的一些准备知识及定理4.1的证明87-104
• 4.3.1 Palais-Smale序列的渐近行为分析87-94
• 4.3.2 最小能量值或者山路值的估计94-103
• 4.3.3 定理4.1的证明103-104
• 4.4 定理4.2的证明104-107
• 第5章 带位势的Rellich-Kondrachov紧性定理(即定理2.3)的几个应用107-143
• 5.1 问题介绍和主要结果107-112
• 5.2 应用一：一类CKN不等式的最佳常数可达或者极值函数的存在性问题112-118
• 5.3 应用二：一类带奇异位势的p-拉普拉斯椭圆方程的多解性问题118-127
• 5.4 应用三：无界区域上的一些探讨127-143
• 5.4.1 次临界的情形128-131
• 5.4.2 临界的情形131-143
• 第6章 R~N上一类含有Sobolev临界项并涉及到多重Hardy-Sobolev临界指标的问题143-182
• 6.1 问题介绍和主要结果143-145
• 6.2 问题(6-1)非负解的正则性145-150
• 6.3 问题(6-1)正解的对称性研究150-156
• 6.3.1 所有λ_i都是正的时候基态解的对称性150-151
• 6.3.2 存在参数λ_i<0时正解的对称性研究151-156
• 6.4 一个相关的逼近问题156-169
• 6.4.1 Nehari流形N_ε158-164
• 6.4.2 逼近问题(6-101)基态解的存在性164-169
• 6.5 定理6.1的证明：解的存在性169-182
• 6.5.1 相关的准备知识169-175
• 6.5.2 k=l时定理6.1中解的存在性证明175-177
• 6.5.3 k≠l时定理6.1中解的存在性证明177-182
• 第7章 涉及到Hardy-Sobolev临界指标的椭圆系统182-307
• 7.1 问题介绍和主要结果182-183
• 7.2 正则性、对称性和衰减估计183-193
• 7.3 Nehari流形N193-198
• 7.4 非平凡的基态解的不存在性研究198-203
• 7.5 存在性结论研究的准备工作203-212
• 7.5.1 特殊情形λ=μ(β/α)~((2~*(s_1)-2)/2)-时的正解的存在性结论203-204
• 7.5.2 c_0：=inf(u,v)∈NΦ(u,v)的估计204-212
• 7.6 s_1=s_2=S∈(0,2)时系统的研究212-252
• 7.6.1 一个相关的逼近问题215-218
• 7.6.2 定理7.2的证明218-224
• 7.6.3 正的基态解的存在性研究224-227
• 7.6.4 基态解的唯一性和不存在性研究227-234
• 7.6.5 关于锥的更多结论234-238
• 7.6.6 无穷多个变号解的存在性研究238-242
• 7.6.7 一般区域上的更多结论242-252
• 7.7 s_1≠s_2∈(0,2)时系统的研究252-274
• 7.7.1 一个相关的逼近问题253-254
• 7.7.2 Nehari流形N_ε254-257
• 7.7.3 c_ε的估计257-260
• 7.7.4 逼近问题(7-483)的正基态解的存在性260-263
• 7.7.5 逼近问题(7-483)基态解的几何结构及能量c_ε的渐近分析263-266
• 7.7.6 定理7.10的证明266-274
• 7.8 一般的非极限区域上系统的研究274-307
• 7.8.1 紧性定理275-284
• 7.8.2 PS序列分解结论284-298
• 7.8.3 最小能量m_0的估计298-300
• 7.8.4 非平凡基态解的存在性结论及其证明300-307
• 第8章 结论和展望307-311
• 8.1 结论总结307-309
• 8.2 值得继续考虑的问题309-311
• 参考文献311-316
• 致谢316-318
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果318

，

本文编号：1074496