非线性微分方程边值问题正解的存在性研究

发布时间：2017-11-12 21:35

  本文关键词：非线性微分方程边值问题正解的存在性研究

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【摘要】：非线性泛函分析是现代数学中一个既有深刻理论意义又有广泛应用价值的研究方向.它以数学和自然科学各个领域中出现的非线性问题为背景,建立处理许多非线性问题的若干一般性理论和方法.因其能很好的解释各种自然现象,它的丰富理论和先进方法为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具,目前非线性泛函分析的主要内容包括拓扑度理论、临界点理论、半序方法、解析方法和单调映射理论等.Banach空间中微分方程理论是非线性泛函分析的一个重要研究分支,已经被广泛应用于工程技术和控制理论等诸多领域.非线性微分方程边值问题的研究是一个具有持久生命力的课题,近年来,非线性微分方程边值问题解的存在性受到研究者的广泛关注,并且取得了丰富的研究成果.分数阶微积分经过三个多世纪的发展,其应用领域越来越广泛,与经典的微积分相比,它可以更好地描述生物、物理、化学、金融等领域中具有记忆和遗传性质的过程,这些过程在数学上即表现为分数阶微分方程.但由于分数阶微分算子的奇异性和非局部性质,导致了分数阶微分方程在数学理论上的研究困难.因此,对分数阶微分方程边值问题的研究具有重要的理论和实际意义.本文主要研究了整数阶和分数阶上几类微分方程(组)奇异和半正边值问题正解的存在性、唯一性和多解性情况,利用非线性泛函分析的锥理论、不动点理论、Krasnosel' skii不动点定理、单调迭代方法,获得了一些新的结果.这些结果大都已经发表在国外重要的学术期刊上,如《Appl.Math.Comput.》(SCI)、《Adv. Difference Equ.》(SCI)、《Abstr.Appl.Anal.》等.本文共分六章.第一章绪论部分,简要介绍了非线性泛函分析的历史背景,给出了非线性泛函分析的一些基本定义和性质,并且列出了后面章节中要用到的关于不动点存在性的几个引理,这些引理在本文主要结果的证明中是至关重要的.第二章,通过在一个特殊的空间和特殊的锥上应用不动点定理,我们讨论了一类无穷区间上奇异半正边值问题正解的存在性.我们的工作包含和改进了奇异和非奇异的情况下的许多已知结果.第三章,我们研究了一类无穷区间上带有积分条件的p-Laplacian分数阶积微分方程的极值解.利用单调迭代方法结合适当的条件,得到了分数阶微分方程的极大解和极小解的存在性.此外,我们建立了由简单线性函数开始的迭代解序列.最后,通过一个例子验证了我们的主要结果.第四章,我们系统地研究了用于HIV感染模型的带有积分边界条件的抽象分数阶微分系统正解的存在性.利用锥上的不动点定理,得到了一些新的结果并且实例证明了主要结果的应用性.第五章,我们得到了带有耦合边界条件的分数阶微分系统正解的存在性结果.5.1研究一类带有耦合边界条件的(n-1,1)型奇异分数阶微分系统的正解,建立了系统正解的存在性条件.此外，我们得出正解的明确估计式,并在某些附加条性下,获得了正解的唯一性,通过例子展示了主要结果的有效性.5.2我们考虑了一类带有耦合边界条件的含参数高阶奇异半正分数阶微分系统的正解.利用格林函数的性质和krasnosel' skii不动点定理,在非线性函数满足某些条件的情况下,得到了系统正解的存在性结果.本文的方法是建立带有耦合边界条件的非线性分数阶微分系统正解存在性的统一方法.第六章,我们探讨了带有积分边界条件的奇异分数阶微分系统正解的存在性,其中,我们允许非线性项相对于时间和空间变量同时奇异.
【学位授予单位】：曲阜师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.8

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本文编号：1177757