超越亚纯函数与多项式零点性质相关问题的研究

发布时间：2017-12-08 16:26

  本文关键词：超越亚纯函数与多项式零点性质相关问题的研究

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【摘要】：本文主要研究了关于超越亚纯函数和多项式的零点性质的两个重要猜想,以及与第一个猜想相关的特定超越整函数类的动力学性质.2001年,W.Bergweiler研究正规定则时提出如下关于超越亚纯函数零点性质的猜想：设f(z)为超越亚纯函数,若(?)z∈C都有f'(z)≠1,则f(z)在所有零点处的-阶导函数值所成集合f'(f-1(0))是无界的.BL.Sendov提出了如下关于多项式零点与多项式一阶导函数零点距离的猜想：设多项式的所有零点都在闭圆盘(?)中,则每个闭圆盘包含p'(z)的一个零点.本文主要内容如下：第一章介绍值分布论及正规族理论的起源、发展及相关成果和二者联系；介绍与本文有关的复动力系统理论背景、发展和主要理论成果；最后,列出本文中主要结果.第二章介绍本论文所需要的预备知识.主要介绍了本文所需要的正规族及亚纯函数值分布论等相关理论,说明Bergweiler猜想的来源及研究脉络；介绍了整函数迭代动力系统的理论知识及经典结果.第三章给出Bergweiler猜想新证明；并且一定程度推广了此猜想,猜想中函数的一阶导数不取1的假设可减弱为函数的一阶导数取1有限多次.第四章中我们研究了Bergweiler猜想相关的问题：当超越亚纯函数具有无穷多个零点并且一阶导函数取0有限次时,函数所有零点的一阶导函数值集是无界的吗?本文运用正规族理论证明了对于级大于2的超越亚纯函数,当其取某个非零复数有限次时,函数零点的一阶导函数值所成集合是无界的；而对于级大于1的整函数,得到当其取某个非零复数有限次时,函数所有零点的一阶导函数值所成集合是无界的；有例子表明级大于1的假设是精确的.第五章中我们将Bergweiler猜想应用于复动力系统中的相关函数类的动力学性质的研究中,主要研究了一类与Bergweiler猜想相关的形如九(：)=：.ep(z)+μ的有限型超越整函数的Julia集合上的淹没点集,其中p(z)为首项系数为正的实系数多项式,记0的零点为如果它们均为实数,证明了当并且参数μ满足一定条件时+包含在J(fu)的淹没点集中,其第六章中对于所有零点都在单位闭圆盘内的多项式,本文讨论了多项式零点与其一阶导数零点之间的距离问题,即Sendov所提出的关于多项式零点性质的猜想.本文得到,假设p(z)为n次多项式,p(z)的所有零点在单位闭圆盘中,α为其中一个零点,若|α|≤sinπ/π,那么以α为中心1为半径的闭圆盘中至少包含p'(z)的一个零点.此结果部分证实猜想为真.
【学位授予单位】：中国矿业大学(北京)
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O174.52

【参考文献】

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1 杨乐,张广厚;一类整函数的亏值[J];中国科学;1977年04期

2 乔建永;The buried points on the Julia sets of rational and entire functions[J];Science in China,Ser.A;1995年12期

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本文编号：1267054