球面曲线插值问题及不变量的研究与应用

发布时间：2017-12-10 22:06

  本文关键词：球面曲线插值问题及不变量的研究与应用

  更多相关文章： 球面 黎曼流形 Bezier曲线 几何连续插值 特征数

【摘要】：随着计算机科学技术的广泛普及与迅猛发展,球面曲线的构造与表示在处理数控加工中的路径设计,机器人路径规划,电脑动画设计以及曲面裁剪与分割等问题时显得尤为重要.然而,球面的非欧结构使得我们无法直接利用计算机辅助几何设计中一些传统的方法来构造球面样条曲线.因此,对球面曲线相关问题的研究不仅具有重要的理论意义,同样具有重要的应用价值.鉴于此,本文对球面曲线的构造,性质及其在球面数据点拟合方面的应用等相关问题进行了研究,并将部分结果推广到黎曼流形上.本文主要工作可概括如下：首先,本文对垅维单位球面Sm上的几何连续插值问题进行了研究,并将部分结果进行了应用和推广.主要结果包括：(1)通过确定两条球面Bezier曲线段G2光滑拼接的充分必要条件,构造出了G2连续的三次球面Bezier插值样条,并通过求解两个约束优化问题给出了形状参数的选取办法.与现存的两种主要方法相比,本文的方法放松了对插值数据的限制,并且构造出的样条曲线速度和加速度的变化更加均匀.(2)将有理德卡斯特里奥算法(rational de Casteljau algorithm)推广到,m维单位球面Sm上,由此定义了一种新的球面曲线,即广义有理Bezier曲线.本文给出了曲线首末端点处一阶和二阶导矢的计算公式.在此基础上,构造出了G2 Hermite插值的标准型五次广义有理Bezier样条,并且提出了将该样条曲线应用到刚体旋转运动设计的算法.本文提出的设计算法适用范围更广,并且为运动控制提供了更多的自由度,通过交互式设计可以得到更加理想的运行轨迹,数值对比实验验证了上述结论.(3)将上述部分结果进行了推广,在黎曼流形上构造出了G2连续并且满足G1 Hermite插值条件的广义Bezier样条曲线,并且在2维单位球面和Lobachevsky平面这两个特殊的黎曼流形上实现了该构造方法,由此表明了本文方法的可行性和有效性.其次,本文对球面代数曲线的内蕴性质及其不变量进行了研究.通过引入球面点的拟齐次坐标和拟射影坐标的概念,解决了对径点的统一表示问题.又通过对广义球极投影映射的研究,建立了球面代数曲线与平面代数曲线之间的联系.在此基础上,将特征比,特征数和特征映射等平面代数曲线的相关概念推广到球面上,最终构建了球面代数曲线的特征数理论.利用该理论,建立了高次球面代数曲线与低次球面代数曲线之间的内在联系.特别的,还证明了三次球面代数曲线一些有趣的性质.
【学位授予单位】：大连理工大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O186.1

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本文编号：1276046