分数阶偏微分方程的解析和数值方法及其参数估计问题

发布时间：2017-12-11 12:11

  本文关键词：分数阶偏微分方程的解析和数值方法及其参数估计问题

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【摘要】：作为一种新颖的数学工具,分数阶微积分建模方法和理论被广泛应用于物理、化学、生物、医学、金融、控制工程等诸多领域。基于分数阶微分算子所具有的记忆、遗传特性,分数阶导数模型在刻画物理力学过程中涉及记忆和遗传、路径依赖、全局相关和自相似性等的反常现象中体现了其优越性。随着分数阶微积分的逐渐发展,分数阶相关文章正在呈现出"井喷式"的增长态势。已有众多学者致力于研究分数阶偏微分方程的解析和数值方法。基于分数阶微积分在实际问题中的广泛应用,分数阶导数模型的参数估计问题逐渐发展成为近年来新兴的一个研究热点。关于整数阶模型的参数估计问题的研究已经相对成熟,然而在分数阶领域,对于分数阶本构模型中参数的研究,人们大多是通过曲线拟合的方法得到的,而缺乏具体可行的适用于分数阶导数模型的参数反演方法。因此,本文主要研究分数阶偏微分方程的解析和数值方法及其参数估计问题。本文中针对不同的分数阶导数模型,分别研究了正问题的求解方法,以及分数阶模型的参数估计问题。首先,针对不规则凸区域上的二维时空分数阶波动方程,提出了新颖的不规则网格有限元算法,并证明了格式的稳定性和收敛性。其次,推导了带有分数阶热流条件的一维时间分数阶热波方程,利用积分变换方法给出了模型的解析解,并利用最小二乘算法估计了分数阶阶数和热松弛时间,为分数阶反问题提供了具体的参数估计方法。第三,基于广义分数阶单元网络Zener模型,率先提出了利用贝叶斯方法研究分数阶模型的参数估计问题,并证明了贝叶斯方法的稳定性和收敛性,为分数阶反问题提供了高效、具体的参数估计方法。第四,针对多孔介质中的分数阶分形扩散模型,利用有限差分方法求得了模型的数值解,并将贝叶斯方法应用于实际问题,基于甲烷在碳介质中的快速解吸附实验数据验证了贝叶斯方法的有效性。最后,将时间分数阶模型推广到了多项的情形,利用修正的分数阶预估校正算法得到了正问题的数值解,并给出了另一种有效的适用于分数阶反问题的参数估计方法,即复合Nelder-Mead单纯形和粒子群优化算法。具体地:第一章,我们首先简要介绍分数阶微积分的产生及发展历程,并给出本文中用到的几种分数阶导数定义形式。然后,简单的概述本文的主要研究内容。第二章,针对定义在不规则凸区域上的二维时-空分数阶波动方程,我们提出一种新颖的不规则凸区域上的不规则网格有限元算法。在时间上,利用Crank-Nicolson格式离散Caputo时间分数阶导数,而在空间上,利用了一种基于不规则网格剖分的Galerkin有限元算法。本章中建立了不规则网格Crank-Nicolson Galerkin数值格式的稳定性和收敛性分析,并给出了详细的数值实现过程。数值算例表明本章中所提出的不规则网格有限元方法在求解不规则凸区域上的二维时-空分数阶波动方程问题中是有效的。此外,文中对比了规则网格剖分和不规则网格剖分在数值格式的实现上的异同,结果表明不规则网格剖分在数值实现上需要更大的计算量,但格式所产生的误差更小。鉴于实际问题中的研究区域大多趋于不规则性,如人类的心脏和大脑,而不规则区域很难用规则的网格剖分很好的近似,因此,研究不规则凸区域上基于不规则网格剖分的有限元方法具有显著的实际意义。第三章,我们研究Caputo导数定义下带有分数阶热流条件的一维时间分数阶热波方程及其参数估计问题。根据分数阶Cattaneo方程理论,我们首先推导了带有分数阶热流条件的时间分数阶热波模型,并利用分数阶Laplace变换、有限Fourier余弦变换等方法给出了正问题的解析解。然后,利用通过求解正问题获得的真实温度场和随机误差合成仿真实验数据,即介质内部温度的测量值。在此基础上,我们提出利用最小二乘方法研究分数阶阶数α和热松弛时间τ的两参数估计问题。最后,对不同的热流分布函数所构成的两个初边值问题分别进行数值实验。数值算例结果表明最小二乘算法在求解时间分数阶热波方程的两参数估计问题中是有效的.第四章,针对粘弹性材料的分数阶本构方程,我们率先提出利用基于统计原理的贝叶斯方法研究分数阶模型的参数估计问题。基于描述粘弹性材料粘弹特性的广义分数阶单元网络Zener模型,在模型解析解的基础上,我们率先将贝叶斯方法应用于分数阶模型的参数估计问题中,同时估计了模型中的四个未知参数(α,β,λ,τ)。然后,我们给出数值算例验证了贝叶斯方法在分数阶模型的参数估计问题中的有效性和可行性。实验结果表明,基于贝叶斯方法所得参数估计值的模型模拟结果很好的拟合了粘弹性材料的实验测量数据,证明了贝叶斯方法在分数阶参数估计问题中的有效性,同时说明了广义分数阶单元网络Zener模型在刻画粘弹性材料的粘弹特性方面是可行的。该研究为分数阶本构模型的参数估计问题提供了具体、可行而有效的参数反演方法。第五章,针对多孔介质中的反常扩散现象,我们研究了分数阶分形扩散模型的数值求解方法及其参数估计问题。首先,利用中心盒式差分算法给出了分数阶分形扩散模型初边值问题的数值解。然后,在正问题的基础上,我们利用贝叶斯方法同时估计了模型中的三个参数,即分数阶阶数α、分形维数df、结构参数θ。最后,利用甲烷在碳介质中的快速解吸附实验数据验证了本章中所用方法的有效性。数值结果表明,基于贝叶斯方法所得参数估计值的分数阶分形扩散模型很好的拟合了甲烷的快速解吸附实验数据,证明了贝叶斯方法在分数阶分数扩散模型的参数估计问题中是有效的。同时,通过对比经典的Fick模型与分数阶分形扩散模型,可以发现,经典的Fick模型在描述甲烷的反常扩散行为中是失效的,而分数阶分形扩散模型能够很好的刻画这一多孔介质中的反常扩散现象。此外,为了说明参数对模型的影响,文中分别分析了参数α、df、θ的敏感性。结果表明,三个参数α、df、θ均显著影响着分数阶分形扩散模型的模型拟合效果,尤其在实验的初始阶段。本研究为描述多孔介质中反常扩散现象的分数阶分形扩散模型的参数估计问题提供了具体、有效的参数反演方法。第六章,我们研究Caputo导数定义下的多项时间分数阶微分方程及其参数估计问题。首先,利用修正的分数阶预估校正算法得到正问题的数值解。然后,利用复合Nelder-Mead单纯形和粒子群优化算法研究相应的参数估计问题。最后给出数值算例,基于粘弹性材料的实验数据,验证本章中所用方法在求解多项时间分数阶微分方程参数估计问题中的有效性。鉴于实际问题中实验测量时间较长,在参数估计问题中,文中只取初始阶段的一部分实验数据用于估计模型中的未知参数,继而考察所得参数估计值是否适用于整个实验过程的所有数据。实验结果表明,只用初始阶段数据所得的参数估计值同时适用于整个实验过程的所有数据,证明了分数阶数学模型在刻画材料的真实物理力学现象及预测未来发展趋势中的有效性,同时说明了本章中所用数值求解方法和参数反演方法的可行性。第七章,给出本文的总结和未来的研究工作展望。
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O241.82

【参考文献】

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1 Bo Yu;Xiaoyun Jiang;Haitao Qi;;An inverse problem to estimate an unknown order of a Riemann-Liouville fractional derivative for a fractional Stokes' first problem for a heated generalized second grade fluid[J];Acta Mechanica Sinica;2015年02期

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3 徐明瑜,谭文长;黏弹性材料本构方程的广义分数阶单元网络表述及其广义解[J];中国科学(A辑);2002年08期

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本文编号：1278402