Korteweg-de Vries方程的若干性质

发布时间：2017-12-16 21:21

  本文关键词：Korteweg-de Vries方程的若干性质

  更多相关文章： Korteweg-de Vries方程 Carleman估计 能控性 唯一延拓性 受迫振荡

【摘要】：Korteweg-de Vries方程是由Korteweg和de Vries于1895年提出的描述河道中浅水波传播的模型.在非线性研究中考虑弱非线性和弱色散现象之间的平衡时,这个方程也是一个非常有用的近似模型.现如今,Korteweg-de Vries方程已经成为了描述非线性色散系统中小振幅长波的单方向传播的经典数学模型.在过去的五十多年中,Korteweg-de Vries方程受到了来自于数学家和物理学家多方面的关注,并且已经成为了力学以及非线性分析中重大突破的来源,对代数,分析,几何以及物理等方向的发展产生了重要的影响.密度分层流体中非线性长波的传播一直是物理学家与数学家所关注的问题.这种波通常出现于湖泊,峡湾以及沿海水域中的温度突变层,当流体的深度相对于波长来说很小时,一般用Korteweg-de Vries方程表示.当两个内部重力长波在传播过程中相速度几乎相同时,这种现象可以由一个耦合的Korteweg-de Vries方程组来描述.在本文中,我们研究Korteweg-de Vries方程以及耦合Korteweg-de Vries方程组的一些性质,包括Korteweg-de Vries方程的唯一延拓性,受迫振荡问题,具有限制的能控性问题以及耦合Korteweg-de Vries方程组的边界能控性问题.在第一章中,我们介绍了Korteweg-de Vries方程及耦合Korteweg-de Vries方程组的起源,讨论了我们所考虑的问题的背景并列举了相关问题已经取得的成果,给出了本文的几个主要结果.在第二章中,我们研究了有限区间上Korteweg-de Vries方程的唯一延拓性,即若Korteweg-de Vries方程的解在空间区域的一个非空开子集上为零,则其解在整个空间区域上为零.唯一延拓性是偏微分方程的一类重要性质,它的起源可以追溯到20世纪初Holmgren和 Carleman的经典结果.在已知文献中有许多关于Korteweg-de Vries方程的唯一延拓性的结果,对比已知的这些唯一延拓性,我们的结论对于解的正则性的限制更少.为此,我们需要对Korteweg-de Vries方程建立一个整体的Carleman估计Korteweg-de Vries方程的Carleman估计也在一些文献中被讨论过,但据我们所知,已知的结果多是关于边界观测量的,具有内部观测量的Korteweg-de Vries方程的Carleman估计是相对较少的.由这个整体的Carleman估计,再结合Korteweg-de Vries方程的光滑效应,即可得到我们所需要的唯一延拓性.在第三章中,我们考虑了周期区域上的一个具有衰减项的Korteweg-deVrie8方程.我们证明了若外力是一个小振幅的周期函数,则方程的解是渐近时间周期的.近些年来,Korteweg-de Vries方程的时间渐近周期解问题逐渐受到人们的关注.为解决这一问题,我们引入Bourgain空间,应用Bourgain空间中的双线性估计来处理Korteweg-de Vries方程中的非线性项.然后,利用Bourgain空间的性质及不动点定理,我们得到线性化系统的一些适定性结论,解的渐近周期性可由这些适定性结论结合半群理论得到.在第四章中,我们考虑有限区间上两个Korteweg-de Vries方程耦合的系统.这个系统是描述流体中内部重力长波相互作用的重要物理模型.在过去的研究成果中,大部分的结果集中在研究这个系统的适定性及稳定化问题上,关于该系统控制方面的结果相对较少,在本章中,我们从控制的观点来研究这一系统.对于Korteweg-de Vries方程的能控性问题,我们知道若仅在方程的左端边界施加控制,则Korteweg-de Vries方程同抛物方程一样仅是零能控的.但是若在其右端边界施加控制,则Korteweg-de Vries方程同双曲方程一样是精确能控的.由于已知文献中已经讨论了我们所考虑的系统右端边界具有控制时的精确能控性,因此,研究该系统左端Dirichlet边界具有控制时的零能控性是一个自然而有趣的问题.首先,我们通过变量替换将线性部分和非线性部分均有耦合的系统化为只有非线性部分耦合的系统,接下来用Carleman估计建立线性系统的内部零能控性,然后结合线性系统的结论和Kakutani不动点定理,可以得到原系统的零能控性.在第五章中,我们得到了线性Korteweg-de Vries方程状态变量具有有限个限制时的内部零能控性.这类控制问题来自于确定不完整数据问题中的参数时使用的Lions的sentinels方法.状态或控制具有限制的热方程的零能控性问题结果已经十分丰富,但对于三阶色散方程还没有相应的结论.需要注意的是本章中所解决的控制问题并不是将热方程的结果直接推广到三阶色散方程上,由于三阶色散方程的Carleman估计相对于热方程来说具有一定缺陷,因此这给我们的证明过程带来了一系列困难.在本章中,我们首先建立了一个适应于控制限制的Carleman估计.然后我们将状态变量具有限制的能控性问题转化为了一个等价的控制变量具有限制的能控性问题.接下来,我们构造了一个对称的双线性型并且由适应的Carleman估计证明了这个双线性型在某个空间上是一个标量积.最后应用Lax-Milgram定理,我们找到了等价问题的控制函数,从而解决了原问题.
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175

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本文编号：1297511