应用双线性方法求两类非线性偏微分方程的一些精确解

发布时间：2017-12-23 06:44

本文关键词：应用双线性方法求两类非线性偏微分方程的一些精确解　出处：《西北大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：关于Hirota双线性方法研究非线性偏微分方程是非线性数学物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一。本文研究应用Hirota双线性方法以及作为对Hirota双线性方法进行推广得到的广义双线性方法建立了两类非线性偏微分方程,即：非线性波方程和非线性热传导方程的精确解。在深入讨论应用Hirota双线性方法联合其他技术得到三种不同的非线性波方程的精确解之后,指出一类目前还无法用Hirota双线性方法求解的非线性热传导型方程。然后,本文在广义双线性方法基础上,独立发展了一些求解技术,给出了这些非线性热传导型方程的多波解。本文主要工作如下：第一,使用Hirota双线性方法和恰当的交换公式,本文得到一类七阶的KdV方程的双线性B(?)cklund变换。在此基础上,使用规范变换以及符号计算技术,得到了另外三种双线性B(?)cklund变换。我们称最后一种为修正的双线性B(?)cklund变换,通过应用修正的双线性B(?)cklund变换和截断法,可以得到原方程新的N孤子解。第二,使用Hirota双线性方法以及朗斯基行列式技术,本文给出并证明了一种水波方程拥有双朗斯基行列式解的一个充分条件。从涉及矩阵的特征值分类入手,我们解得对应方程的一系列孤子解、有理解、Matveev解和complexiton解。上述各种解充分体现出所研究的非线性方程的精确解具有多样性。这里使用的解的分类的方法和思想,有助于研究更多非线性偏微分方程的双朗斯基行列式解构造和双朗斯基行列式的解分类问题。第三,基于Bell多项式理论并引入辅助变元,获得了合适的变换,可用于得到七阶KdV方程对应的Hirota双线性形式,并且计算出它们的多孤子解。众所周知,比较容易为阶数低的非线性偏微分方程建立对应的Hirota双线性形式；而色散项和非线性项在阶数高的非线性偏微分方程中往往比较复杂,建立对应的Hirota双线性形式困难得多。本文方法展示了Bell多项式理论可以用于构造高阶方程对应的Hirota双线性形式。我们还进一步用黎曼θ函数推导出了前述方程的一些周期波解。第四,我们研究一类热传导型方程。我们使用前面的各种方法,并且查阅文献发现：这类热传导型方程目前不能转化为Hirota双线性形式。但是这类热传导型方程却具有广义双线性的形式。可见,推广的双线性方法确实能研究非平凡的热传导型方程。为了计算这些方程对应的多波解,本文拓展了双线性方程求解方法,发展了一些新的求解技术,最终给出了上述方程的新的多波解。这表明以推广的双线性方法为基础,这些热传导型方程的新的多波解的确能够建立。
【学位授予单位】：西北大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175.29

【参考文献】