代数几何解及Wronskian技巧的研究

发布时间：2017-12-24 11:31

  本文关键词：代数几何解及Wronskian技巧的研究　出处：《上海大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

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【摘要】：本文分为两部分：构造孤子方程的代数几何解及Wronskian技巧在孤子方程中的应用.孤子方程的代数几何解不仅能够揭示解的内部结构,描述非线性现象的逆周期行为和孤子方程的可积性特征,而且可以利用其约化为多孤子解,椭圆函数解及其它形式的解.因此研究孤子方程的代数几何解具有重要意义.第二章和第三章讨论孤子方程族的代数几何解.其中第二章讨论与2×2矩阵谱问题相联系的二分量的广义Burgers方程族的代数几何解.借助于Lax矩阵的特征多项式,引入一条算数亏格为N的代数曲线KN,在其上建立亚纯函数Φ,并研究其性质.在Abel-Jacobi坐标下,对应流被拉直.基于这些准备工作,得到整个二分量的广义Burgers方程族的代数几何解.第三章讨论与3×3矩阵谱问题相联系的孤子方程族的代数几何解.由Lenard递推方程和零曲率方程构造出一族新的广义Burgers方程族.通过该方程族的Lax矩阵的特征多项式,定义一条算数亏格为m-1的三角曲线Km-1,在其上适当引入Baker-Akhiezer函数,亚纯函数及Dubrovin-型方程.在Abel映射下对应的流被拉直,借助第二类与第三类Abel微分和Riernann-Roch定理,通过研究Baker-Akhiezer函数与亚纯函数的性质,得到这些函数的Riemann 9函数表示.从Baker-Akhiezer函数与亚纯函数的Riemann 6函数表示最终得到广义Burgers方程族的代数几何解.第四章,将Wronskian元素满足的条件推广到矩阵情形,基于Hirot双线性导数和Wronskian技巧,导出修正Boussinesq方程的新的广义Wronskian解.其中包括孤子解,有理解,Complexiton解,Matveev解和混合解.第五章,推广Wronskian元素满足的条件为一般的非零位势情形.通常在求孤子方程Wronskian解时,在相应的Lax对中令位势函数为零即构成Wronskian元素所满足的条件.本章令位势函数不为零,成功求得3-阶AKNS方程新的双Wronskian解.当位势函数取指数函数时,得到3-阶AKNS方程的N-暗孤子解,特别给出其1-暗孤子解.并通过约化,得到著名散焦mKdV方程的广义Wronskian解,特别得到其N-暗孤子解.
【学位授予单位】：上海大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175.29

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本文编号：1328217