β-展式的若干研究

发布时间：2017-12-25 08:30

本文关键词：β-展式的若干研究　出处：《华中科技大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：实数的展开理论是数论中的中心问题,与度量数论、动力系统、分形几何、词上组合等数学领域均密切相关.本人研究实数的口展式中的若干问题,着重考虑了多字母情形下β展式的周期唯一性问题,与广义黄金分割数下具有可数展式的实数的刻画等.论文分为五章,组织如下：在第一章中,我们介绍了动力系统和数的展式的发展以及相关问题的背景.第二章则主要给出了β-展式的定义、性质,以及各个问题所需要的预备知识.在接下来的两章中,分别对上面两个问题进行了详细的研究.在第三章中,在字符为0,1...,m对任意的自然数n∈N,我们考虑了使得某元素的β展式是唯一的且周期的,并且最小周期是n的基β所构成的集合,也就是其中,Ωβ,m。是在字符集为{0,1...,m)时唯一展式的集合,Pn表示最小周期为n的纯周期的展式的集合.我们回答了Baker提出的问题.Allouche,Clarke,Sidorov[2]证明了在字符为0,1时,对任意的n≥2存在一列数βn使得集合Pn,1等于(βn,2).更重要的是,他们还证明了βkβl当且仅当在Sharkovskii序中k在l的前面.在该章中,我们研究了一般字符集时的情形.当m为奇数时上述结论可以直接推广；但当m为偶数时情况变得比较复杂,我们不可能直接推广.通过把问题提升到一个大字符集上,然后投影回原字符集,我们得到相应的结论.在第四章中,我们刻画了在固定基下恰好有可数多个展式的元素的集合,我们回答了Baker提出的开问题Sidorov,Vershik[3]证明了在基G-(?)并且字符为0,1的情况下,数字x=nG mod1(n∈Z)恰好有可数多个展式,然而区间(0,1/G-1)中的其他元素有不可数多个展式.在该章中,我们考虑广义黄金分割数β=g(m)时的情况.证明了在字符集为{0,1...,m)时,如果m=2k+1,g(m)=k+1(?)/+,数字x=pβ+q/(k+1)n∈(0,m/β-1)(n,p,q∈Z)有可数多个展式,然而区间(0,m/β-1)中的其他元素有不可数多个展式；如果m=2k,g(m)=k+1,数字p/(k+1)n∈(0,2)(n,p∈N∪{0})有可数多个展式,区间(0,2)中的其他元素有不可数多个展式,我们的结果包含Sidorov,Vershik的结果为特例.在最后一章中,我们总结了本文的主要结果,并提出了有待进一步研究的问题.
【学位授予单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O156

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