基于Littlewood-Paley理论的流体方程组研究

发布时间：2018-02-08 22:45

本文关键词： Littlewood-Paley理论流体方程组耗散项适定性解的性质最优控制反馈控制渐近稳定性迭代学习控制　出处：《西南交通大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：控制理论和技术在现实生活中的许多领域有着非常广泛的应用,并且发挥着越来越重要的作用。关于分布参数系统模型控制问题的研究十分活跃。事实上,大量的分布参数系统是由偏微分方程描述的,并且以偏微分方程描述的数学物理模型往往更能反映现象的本质。流体类方程作为数学物理中的基本方程之一,在流体力学、弹性力学以及控制理论等许多学科中都起着至关重要的作用,具有较强的实际应用背景。非线性亦是自然界和工程技术领域中的普遍现象。对于非线性偏微分方程的控制问题,首先即要求问题是适定的。最近,Fourier分析方法在偏微分方程的研究中已有广泛应用。特别地,Littlewood-Paley分解和Bony仿积分解方法是非常有效的工具。本文运用Littlewood-Paley理论在Besov空间中研究三类流体方程组Cauchy问题的适定性,并在Sobolev空间中研究解的性质。同时研究带反馈控制Camassa-Holm方程的全局稳定性、带粘性项的浅水波方程的最优控制问题、具阻尼广义Korteweg-de Vries方程的迭代学习控制问题。本文针对几类具有物理、工程背景的流体方程组的稳定性及流体方程的相关控制问题进行探究,并取得系列成果。研究了带弱耗散项的Camassa-Holm方程、方程组以及带耗散项的Camassa-Holm方程组。利用Littlewood-Paley理论和输运方程的解在Besov空间中的估计建立方程及方程组Cauchy问题的局部适定性。同时研究解的爆破准则与爆破速率。通过构造Lyapunov函数证明解的整体存在性。特别地,对于带耗散项的Camassa-Holm方程组得到解的无限传播速度。给出耗散项系数β与解的爆破准则、爆破速率的关系,耗散系数λ与扩散系数k对解的无限传播速度的影响。并研究Camassa-Holm方程在线性反馈控制下的全局渐近稳定性。得到强解的爆破准则与整体存在唯一性；同时得到弱解的整体存在唯一性及渐近稳定性。研究表明反馈控制项中的系数与弱解的指数渐近稳定性相关。研究了带耗散项的Degasperis-Procesi方程组。在具周期边界的情形建立问题的局部适定性。由于Degasperis-Procesi方程组没有类似于Camassa-Holm方程组的守恒律,此处仅得到解的爆破准则。另外,对于带耗散项的Degasperis-Procesi方程组,得到解具有持续性质。研究了液晶方程组。利用Littlewood-Paley分解与Bony仿积分解方法,在带负指标的临界Besov空间中得到液晶方程组Cauchy问题的局部适定性。并在小初值的情形利用压缩映射原理建立问题的整体适定性。从而将解空间的正则性改进为负指数。同时得到解的爆破准则。研究了带粘性项的浅水波方程的最优控制问题。利用Galerkin方法和分布参数系统的最优控制理论,得到控制问题最优控制与最优解的存在性。利用指标泛函的Gateaux可导性及伴随方程,得到最优控制满足的一阶必要性条件与最优控制的局部唯一性。研究了具阻尼广义Korteweg-de Vries方程的迭代学习控制问题。利用半群理论得到系统状态变量的表达式,同时建立状态变量的先验估计。在迭代过程中允许初值存在一定偏差时,给出系统跟踪误差在P型迭代学习控制算法下的收敛条件。同时给出数值实例。
[Abstract]:In this paper , we study the global stability of the Camassa - Holm equation with the dissipative term , the relation between the dissipation coefficient 位 and the diffusion coefficient k on the infinite propagation velocity of the solution .

【学位授予单位】：西南交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O35;O302

【参考文献】