非线性微分方程的旋转周期解

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【摘要】：自从19世纪末,H.Poincare在他关于三体问题的研究中提出周期解的概念并建立了微分方程定性理论以来,周期解的相关理论一直是定性理论研究中的核心课题之一.在周期解的基础上发展而来的概周期、几乎自守等概念很好的描述了各类在时间上近似周期的自然现象,但并非所有的自然现象都能用单纯的周期性来描述.事实上,有一些系统的模型不仅仅具有时间上的周期性,还在某些方面具有对称性.Y.Li等人在对这类系统的研究中提出了一种新的周期性模型,并将其命名为仿射周期性,将具有仿射周期性的系统称为仿射周期系统[41,54,55,61].本篇博士论文便以一类特殊的仿射周期系统一旋转周期系统为对象,讨论了非线性微分方程的旋转周期解的存在性问题.在第二章中,我们讨论了连续时间上的一个(Q,T)-旋转周期系统x'=f(t,x), (0.0.1)以及(0.0.1)的辅助系统x'=λf(t,x), (0.0.2)其中f(t,x):R1×Rn→Rn是一个连续函数并保证方程的解对于初值具有唯一性,Q∈O(n),λ∈[0,1]在2.2节中,我们给出了一个系统(0.0.1)的旋转周期解的存在性定理,其具体内容如下：定理0.0.1设D为Rn中的一个有界开集.针对方程(0.0.2),我们做如下假设:(H1)：对于任意的λ∈(0,1],方程(0.0.2)的每一个可能的旋转周期解x(t)都满足x(t)(?)aD (?)t；(H2):当Ker(I-Q)≠{0}时,Briouwer度deg(g,D∩Ker(I-Q),0)≠0,其中P:Rn→Ker(I-Q)是一个正投影.如果对于方程(0.0.2),(H1)和(H2)始终成立,则方程(0.0.1)至少有一个(Q,T)-旋转周期解x*(t),且对于任意的t∈R1,都有x*(t)∈D.利用拓扑度理论,我们在2.2节对定理0201进行了证明.这个定理提供了一种在理论上研究旋转周期解的存在性的拓扑方法.为了能在实际应用中更加直接的判断旋转周期解的存在性,我们在2.3节中利用定理0.0.1证明了两个基于Lyapunov函数方法的结果,其具体内容如下：推论0.0.2对于方程(0.0.1),假设存在一族C1函数Vi(x),i=0,1,…,m以及一个正常数σ,使得如下所述的假设(H3)、(H4)和(H5)始终成立.(H3):对于足够大的Mi,我们有|▽Vi(x),f(t,x)|≥σ0 (?)|x|≥Mi,i=0,1,…,m,t∈R1.并且当Ker(-Q)≠{0}时,对于任意的x∈Ker(I-Q)且|x|≥Mi,i= 0,1,…,m,都有|▽Vi(x),Pf(t,x)|≥σ0 (?)t∈R1,其中P:Rn→Ker(I一Q)是一个正投影;(H4)：当|X|→∞时,(H5)：当Ker(I一Q)≠{0}时,Brouwer度deg(▽V0,BM0∩Ker(I-Q),0)≠0,其中Bρ={p∈Rn:|p|ρ}.则方程(0.0.1)至少有一个(Q,T)-旋转周期解x*(t).定理0.0.3对于方程(0.0.1),假设存在一个C1的函数V,V：D→R1,使得如下所述的假设(H6)、(H7)和(H8)始终成立:(H6):D是一个有界开集;(H7):存在一个正常数σ,使得对于任意的(t,x)∈R1×(?)D都有|(▽V(x),f(t,x)|≥σ.并且当Ker(I-Q)≠{0}时,对于任意的(t,x)∈R1×(?)(D∩Ker(I-Q)), |(▽V(x),Pf(t,x))|I≥σ,其中P:Rn→Ker(I-Q)是一个正投影;(H8):当Ker(I-Q)≠{0}时,Brouwer度deg(▽V,D∩Ker(I-Q),0)≠0.则方程(0.0.1)至少有一个(Q,T)-旋转周期解x*(t),且对于任意的t∈R1,都有x*(t)∈D.上面两个结果中,推论0.0.2最早是由H.Wang等人用其他方法证明的[55],因此在本文中仅将其作为定理0.0.1的一个应用实例,在2.3节中提供了一个新的证明并以推论的形式给出.而定理0.0.3则是全新的.这两个结果分别从不同的方向给出了利用Lyapunov函数判断旋转周期解存在性的判别条件,我们在这一节中还给出了推论0.0.2的一个应用实例.在2.4节中,我们证明了一个旋转周期系统上的不变域原理.尽管这一原理在周期解的研究中非常受关注,但之前并没有概周期解或者拟周期解方面的平行结果.旋转周期解可以在某种程度上看作是拟周期的,因此我们的定理拓宽了不变域原理的应用范围.这一定理的具体内容如下：定理0.0.4设D为Rn中的一个有界的单连通开集,D的边界(?)D分段光滑.对于方程(0.0.1),记函数f的壳为H(f).假设如下所述的假设(H9)和(H10)始终成立:(H9)：对于任意的(t,p)∈R1×(?)D以及h∈H(f),h(t,p)都指向D的内部；(H10)：令其中P：Rn→Ker(I-Q)是一个正投影.对于所有的a∈OD,都有g(a)≠0.则方程(0.0.1)至少有一个(Q,T)-旋转周期解x*(t),且对于任意的t∈R1,都有x*(t)∈D.自然界中的现象并不一定都能用连续的系统进行刻画,很多时候我们都会遇到系统在某些时刻发生跳跃或是间断的情况.因此在第三章中,我们利用时标理论,讨论了时标上的一个(Q,T)-旋转周期系统x△=(t,x), (0.0.3)及其辅助系统x△=λf(t,x), (0.0.4)其中f(t,x):T×Rn→Rn是一个rd-连续函数并保证方程的解对于初值具有唯一性,T是一个时标,Q∈O(n),入∈[0,1].在3.2节中,我们给出一个系统(0.0.3)的旋转周期解的存在性定理,其具体内容如下：定理0.0.5设D为Rn中的一个有界开集.针对方程(0.0.4),我们做如下假设:(H11):对于任意的入∈(0,1],方程(0.0.4)的每一个可能的旋转周期解x(t)都满足当x(t)∈D时x(t)(?)(?)D (?)t∈[0,T]T；(H12)：当Ker(I-Q)≠{0}.时,Brouwer度deg(g,D∩Ker(I-Q),0)≠0,其中P:Rn→Ker(I-Q)是一个正投影.如果对于方程(0.0.4),(H11)和(H12)始终成立,则方程(0.0.3)至少有一个(Q,T)-旋转周期解x*(t)且对于任意的t∈[0,T]T,都有x*(t)∈D.作为定理0.0.5的一个应用,我们在3.3节中证明了下面的推论并在该节的最后提供了两个此推论在实际应用中的例子.推论0.0.6对于方程(0.0.3),假设存在一个正常数M,使得对任意的|x(t)|≥M,t∈T,都有并且当Ker(I-Q)≠{0)时,对所有的x∈Ker(I-Q),|x(t)|≥M,t∈T,有|x,Pf(t,x)|≥δ0,其中P:Rn→Ker(I-Q)是一个正投影.则方程(0.0.3)至少有一个(Q,T)-旋转周期解x*(t).

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