具有鞍点结构的大型稀疏线性系统的数值解

发布时间：2018-04-15 10:25

  本文选题：鞍点问题 + 矩阵分裂　； 参考：《兰州大学》2016年博士论文

【摘要】：在科学和工程计算的很多领域中,如不可压缩的Stokes方程,PDE约束优化问题,电磁学问题以及最小二乘问题等经过数值离散都会得到一系列具有鞍点结构的大型稀疏的线性系统,而科学计算的核心就是大型线性方程组的求解。本文主要针对不可压缩的Stokes问题,PDE约束优化问题以及时谐涡旋电流模型的混合规划问题经离散得到的大型稀疏线性系统,提出一系列具有针对性的迭代解法及预处理技术。本文由五部分组成,分为五章。第一章详细介绍研究问题的背景及研究意义、研究现状及解决这些问题的基本方法,并简要介绍本文的主要工作和创新点。第二章针对几种特殊结构的广义鞍点问题,研究其有效的求解方法。第一节针对(2,2) 块矩阵具有特殊结构的广义鞍点系统,提出一种偏向一侧的交替方向(LAD)迭代法,给出该迭代法的收敛条件。进一步研究相应预处理矩阵的特征值分布情况。最后通过两个数值例子来验证该预处理子求解这类特殊的广义鞍点系统的有效性和可行性。第二节针对(2,2) 块矩阵是对称半正定的广义鞍点系统,首先提出双参数的正稳定和半正定分裂(DPSS)迭代法,给出该迭代法的收敛条件。其次松弛化相应的预处理子,得到松弛的DPSS(RDPSS)预处理子,讨论RDPSS预处理矩阵的特征值分布情况。进一步地,分析RDPSS预处理子加速Krylov子空间方法的最大迭代步数。最后通过数值试验验证该预处理子求解不可压缩的Stokes问题的高效性。第三节针对由复对称不定的线性系统等价变换得到的具有块2×2结构的稀疏系统,构造简化的RPSS(SRPSS)预处理子。当SRPSS预处理子加速Krylov子空间方法时,只需求解两个系数矩阵是对称正定的子线性系统。进一步地,证明SRPSS预处理矩阵的特征值全部是正实的,并给出特征值范围的表达式。最后通过两个数值例子验证该预处理子的高效性及稳定性。第四节对本章进行小结。第三章针对两类PDE约束优化问题的离散系统,研究其有效的求解方法。第一节针对泊松型PDE约束优化问题离散得到的块3×3线性系统提出两个新的块预处理子,分别给出块预处理矩阵的特征值和特征向量表达式。并通过数值试验说明这两个预处理子在正则化参数较小时具有较高的求解效率。第二节针对抛物型PDE约束优化问题离散得到的块2×2复线性系统提出块交替分裂(BAS)迭代法,给出该迭代法的收敛条件并分析预处理矩阵的特征值及相应的特征向量。最后通过数值试验验证BAS迭代法及预处理子的有效性。第三节继续第二节的研究。首先提出一种含参块对角预处理子,给出使得块对角预处理矩阵特征值绝对值的比值最小的最优松弛参数表达式。其次提出含近似Schur补矩阵的块三角预处理子,给出预处理矩阵的特征值表达式,并证明在最优松弛参数情形下,块三角预处理矩阵的特征值的分布区域为(12,1]。最后通过数值试验说明这两个预处理子加速Krylov子空间方法的迭代步数不依赖于网格尺寸,正则化参数及频率参数。第四节对本章进行总结。第四章针对时谐涡旋电流模型的混合规划问题离散得到的复线性系统,提出修正的松弛的维数分解(MRDF)预处理子,分析相应迭代法的收敛性条件及预处理矩阵的特征值的表达式,讨论拟最优参数的选取情况。并通过简单拓扑情形来验证MRDF预处理子加速Krylov子空间方法的的有效性。第五章对全文进行总结并对以后的工作进行展望。
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【学位授予单位】：兰州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.6
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本文编号：1753727