非均质材料的光滑多尺度有限元法研究

发布时间：2016-11-20 13:28

  本文关键词：非均质材料的光滑多尺度有限元法研究，由笔耕文化传播整理发布。

《吉林大学》 2015年

非均质材料的光滑多尺度有限元法研究

李霄琳  

【摘要】：在自然界和人类的生产生活中存在着各种各样的非均质材料，比如人类和动物的骨骼、多孔介质、复合材料和金属合金等。这类材料的最小特征尺寸普遍很小，都是微米级，而最大特征尺寸(所构成结构的尺寸)往往达到米级甚至更大，它们之间跨越了多个数量级。如果采用常规数值算法(有限元法、有限差分法等)在单一尺度上对此类非均质材料的力学性能进行分析，则要求所离散的网格尺寸小于非均质材料的最小特征尺寸，才可以得到问题的精确解。由此，导致单元数量过多，问题自由度过大，计算效率过低，甚至无法求解。为了解决这类问题，各种多尺度升尺度算法被相继提出，如：均匀化方法、非均质多尺度方法、多尺度有限元法、变分多尺度方法等。其中，多尺度有限元法由于无周期性假设的限制，具有降尺度计算简单，效率高以及便于并行计算等明显优势，是当前计算力学领域的研究热点。 本文基于多尺度有限元法的基本思想，在组装粗网格单元宏观矩阵时引入梯度光滑技术，提出了光滑多尺度有限元法。并且在其理论框架的基础上，进一步提出了光滑多尺度随机配点法、光滑扩展多尺度有限元法和混合光滑扩展多尺度有限元法。分别应用于地下水流动分析、裂隙岩体渗流分析、裂隙岩体随机渗流分析、功能梯度材料板的弹性力学分析和功能梯度压电材料板的力电耦合分析中。相应算例分析表明：在进行非均质材料的力学性能研究时，同传统数值方法相比，所提出的算法在保证计算精度的同时，明显节省了计算时间，提高了计算效率，是分析非均质材料力学问题的有效方法。 本文的主要工作包括： 1、提出了求解含有震荡参数椭圆型问题的光滑多尺度有限元法。该算法的基本思想是通过数值构造多尺度基函数，使其满足退化的椭圆方程，捕捉参数的空间变异性。引入梯度光滑技术组装粗网格单元宏观矩阵，由此将多尺度基函数所携带的细尺度信息有效的反映到粗尺度上，使问题在粗网格上计算的结果具有良好的精度。梯度光滑技术的引入使光滑多尺度有限元法在获得离散点处的多尺度基函数值后不需要同传统多尺度有限元法一样通过插值计算基函数的连续形式，，也不需要求解基函数的导数，同时将研究域的面(体)积分转化为线(面)积分，软化了结构的刚度矩阵，光滑子域的构造，进一步解析了材料的非均质性，由此提高了计算的精度和效率。对地下水流动问题的模拟验证了算法的正确性和有效性。 2、提出了求解裂隙岩体渗流问题的光滑多尺度有限元法。通过在粗尺度模型上构建裂隙和孔隙两套多尺度基函数，使其满足各自的椭圆微分方程，以反映裂隙和孔隙材料的微观非均质信息。在基函数构造时采用有限全局信息确定基函数边界条件，使基函数在粗网格边界上满足材料非均质性的同时可以捕捉裂隙和孔隙内流体流动的全局耦合信息。最后利用梯度光滑技术构造光滑水头梯度矩阵，并用于粗网格单元宏观矩阵的组装。对裂隙岩体渗流问题的模拟验证了算法的有效性和高效性。 3、提出了求解裂隙岩体随机渗流问题的光滑多尺度随机配点法。考虑到裂隙岩体骨架排列及裂隙分布的随机、不均匀性，将裂隙岩体的渗流分析视为随机问题。利用Karhunen-Loeve级数分解法对水力传导度随机场进行离散。基于稀疏网格随机配点法在随机空间中选择合适的配点，并进行合理组合，将裂隙岩体的随机渗流问题转化为指定配点处的确定性问题。采用光滑多尺度有限元法在配点处对问题进行求解，并对结果进行统计分析。数值模拟结果表明光滑多尺度随机配点法在保证计算精度的同时计算效率明显高于传统随机计算方法。 4、提出了光滑扩展多尺度有限元法并用于求解功能梯度材料三维弹性力学问题。通过在各坐标方向分别构造多尺度基函数，使其满足相应的简化控制方程，捕捉材料属性的梯度变化性。此外，引入耦合附加项考虑固体变形时材料内部的体积膨胀和收缩效应，提高多尺度算法对模型真实变形状态的模拟能力。采用三维梯度光滑技术推导带有耦合附加项的光滑应变矩阵，用于组装粗网格单元的宏观矩阵，由此将梯度光滑技术引入到扩展多尺度有限元法中。数值算例结果表明光滑扩展多尺度有限元具有比传统扩展多尺度有限元更高的计算精度和效率。 5、提出了求解功能梯度压电材料力电耦合问题的混合光滑扩展多尺度有限元法。通过分别构造符合位移场和电势场物理规律的位移和电势多尺度基函数，反映材料不同物理参数的非均质信息。其中位移多尺度基函数采用光滑扩展多尺度有限元法构造，电势多尺度基函数采用光滑多尺度有限元法构造。通过粗网格宏观矩阵的组装将两场的微观信息及两场间的耦合作用同时反映到宏观尺度上，使问题可以在粗尺度网格上得到高效准确的求解。数值算例结果证明了算法的正确性和可行性。

【关键词】：
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O357.3;O302
【目录】：

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