带有外力和真空但没有相容性条件的一类非牛顿流

发布时间：2018-05-03 02:18

  本文选题：非牛顿流 + 真空　； 参考：《吉林大学》2017年博士论文

【摘要】：我们考虑下列一维带有真空和外力的可压缩非牛顿流体方程:其中t≥0,x∈R,μ00,p2,未知函数ρ=ρ(x,t),u=u(x,t)和π(ρ)=Aργ(A0,γ1)分别被定义为密度、速度和压力.不失一般性,设A=1.我们考虑(ρ,u)趋于无穷远处的柯西问题.对于给定的初始函数,我们要求ρ(x,0)=ρ0(x),u(x,0)=u0(x),x∈R.(2)流体的运动被外力f(t,x,u)所驱动.假设f=f(t,x,y),f(t,x,y)∈C∞(0,1]×(-∞,+∞)×(-∞,+∞).我们引入记号h_1(t,x,y)为f(t,x,y)对于t位置的导数,即h_1(t,x,y)=?[f(t,x,y)]?t.h_2(t,x,y)为f(t,x,y)对于x位置的导数,即h_2(t,x,y)=(?[f(t,x,y)])/?x.h_3(t,x,y)为f(t,x,y)对于y位置的导数,即h_3(t,x,y)=(?[f(t,x,y)])/?y.并且g(t,x)为已知函数.我们假设f=f(t,x,y)对于所有的A和(t,x,y)∈(0,1]×(-∞,+∞)×(-∞,+∞),满足下列结构条件条件:其中c1,c2,c3,c4,c5,c6均为给定正常数.H_1(t,x)≥0,H_2(t,x)≥0,H_3(t,x)≥0,(t,x)∈(0,1]×(-∞,+∞)为已知函数并且满足下列条件:其中q≥p为给定正常数,并且c7,c8,c9,c10均为给定正常数.我们得到如下结果:定理1假设(3)-(4)成立.进一步假设初始值(ρ0,u0)满足,其中(t,x)∈(0,T0]×R.进而,对于常数p2,q≥p.假设ρ0满足Φρ_0∈L~1(R)∩H~1(R)∩W~(1,q)(R),其中,ζ_0是一个正常数.则存在正时间T0(T0≤1)使得问题(1)-(2)在R×(0,T0]上有唯一强解(ρ,u)并且满足更进一步,有,对于某正常数N0,并且.首先,我们要对(1)-(2)初边值问题的解,也就是逼近方程的解进行先验估计.引入ψ的定义如下然后,经过计算可知,存在正常数T0和M使得,和,由上述估计再结合截断技术与标准化证明方法得到定理1的结果.在远场密度为真空,并且在没有相容性条件的情况下,柯西问题(1)-(2)的局部强解仍然是一个公开问题.在没有相容性条件的情况下,除本文外,到目前为止未发现有关柯西问题(1)-(2)的局部强解的文献.我们受文献[20]的启发采用包括能量估计在内的一些技巧,不但克服了真空和外力项带来的困难,而且还克服了没有相容性条件而带来的实质性困难,证明了一类强解的存在唯一性.进一步说,与文献[1]相比较,本文的优点为证明是在没有相容性条件的情况下完成的,并且我们得到了一维全空间上的结果.当然,我们也要克服外力项的困难.与文献[20]相比较,本文研究的问题(1)具有强非线性性,这也是我们面临的另一个困难.文献[20]的作者运用Hardy型和Poincar(?)型不等式,用∥ρ1/2u∥L~2(R~2)和∥ux∥L~2(R~2)项来界定u的Lp(R2)范数.受其启发,我们运用类似的方法,用∥ux∥Lp(R)和∥ρ1/2u∥L2(R)项来界定u的Lk(R)(kp)范数.事实上,在R中应用Sobolev嵌入定理要比在R2中应用困难的多,原因是R空间中的紧嵌入结果要比R2中少的多.鉴于上述原因,我们采用截断技术来得到局部强解的存在性,并进一步得到唯一性结果.
[Abstract]:We consider the following one dimensional compressible nonNewtonian fluid equations with vacuum and external forces: where t 鈮，

本文编号：1836537