半线性Tricomi型方程的临界指标

发布时间：2018-05-30 04:25

  本文选题：退化双曲方程 + 爆破　； 参考：《南京大学》2017年博士论文

【摘要】：在这篇论文中,我们研究半线性Tricomi方程的Cauchy问题其中t≥0,x∈Rn,n≥3以及m∈N。我们证明了存在一个临界指标pcrit=pcrit(m,n),使得如果1ppcrit,那么局部解在有限时间内爆破；另一方面,如果ppcrit,则可以得到关于小初值的全局存在性结果。Tricomi方程是一类退化双曲方程,Tricomi方程不但是数学中非常有意义的课题,同时也在物理研究中起到重要的作用。从数学家的观点出发,Tricomi方程可以看作是波方程的推广,具有弯曲的特征锥以及在时间t=0处的退化。从物理学家的角度来看,Tricomi方程与跨音速气流的研究之间有着密切的联系。特别地,Tricomi方程描述了在de Laval管道当中从亚音速(t0,椭圆区域)到超音速(t0,双曲区域)的跨音速流,此为流体力学当中最有趣的问题之一。近来,线性以及半线性Tricomi方程成为了许多数学家关注的焦点,对于线性和半线性Tricomi方程的Cauchy问题有广泛的结果。例如,对于线性广义Tricomi方程,[1],[37]以及[39]的作者精确计算了基本解。最近,[2629]的作者建立了半线性方程(?)t2u-tm△u=f(t,x,u)在退化双曲区域以及椭圆-双曲混合区域解的局部存在性以及奇性结构。这里,f是一个C1函数,关于z变量有紧支集。依赖于对线性方程(?)t2v-tm△v=F(t,x)的解v建立的一些Lp-Lq型估计,Yagdjian在[38]中得到了一系列有趣的结果,即当指标p属于特定区间时,问题(0.0.2)解的全局存在性或爆破的结果。然而,在那篇论文中,在全局存在性区间和爆破区间之间存在一段空缺,临界指标pcrit(m,n)未能被确定。在这篇论文中,我们考虑Cauchy问题(0.0.1),假设ui∈C0∞(B(0,M))(i=0,1),其中B(0,M)={x:|x|＜M},M0.我们确定了临界指标是下面二次代数方程的正根当1 p pcrit时,我们用试验函数方法以及一些对于修正Bessel函数的技巧(如中那样)导出爆破结果。对于p Pcrit的情况,在中作者对于线性波算子得到了基本的Strichartz估计；受此启发,我们对于广义Tricomi算子(?)—tm△建立了加权及非加权的Strichartz估计。基于这些估计的不等式和压缩映像原理,我们最终完成了全局存在性的证明。
[Abstract]:In this paper, we study the Cauchy problem for semilinear Tricomi equations, where t 鈮，

本文编号：1953922