跨共振的二阶常微分方程边值问题的Lyapunov型不等式
发布时间：2018-07-17 04:50
【摘要】：微分方程理论中的一个基本问题,就是微分方程是否有解,解是否唯一.在18世纪,许多数学家(如I.Newton、G.W.Leibniz、Jacob Bernoulli、Johann Bernoulli、A.C.Clairaut、L.Euler、J.L.Lagrange、J.F.Riccati、J.d’Alembert等)都尝试过给出常微分方程的通解.但人们很快发现,能求得通解的微分方程十分有限,这就迫使数学家们将注意力转移到去求解满足某些定解条件的微分方程.边值问题是一类重要的定解问题,被广泛应用于物理学、天体力学、化学、生物学、工程学、经济学等领域以及其他数学分支.1900年,D.Hilbert在巴黎第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题,其中第20个问题就是微分方程的一般边值问题.而二阶常微分方程及边值问题,由于其重要的科学意义和在多个领域中的广泛应用,一直以来备受关注.本文主要研究二阶常微分方程Dirichlet边值问题y′′+ u(x)y = h(x),(1)y(0)=0=y(1)(2)和Neumann边值问题y′′+ u(x)y = h(x),(3)y′(0)= 0,y′(1)= 0.(4)我们知道,边值问题(1)-(2)(或(3)-(4))的可解性与对应的齐次方程y′′+u(x)y=0(5)满足相应边界条件时是否只有零解密切相关.因此,我们可以借助于下述著名的Lyapunov不等式,来给出判断边值问题(1)-(2)(或(3)-(4))解的存在性和唯一性的方法.定理A([42]).设u(x)是区间[a,b]上实值连续函数,其中a,b∈R且ab.若Hill方程y′′+u(x)y=0(6)有满足Dirichlet边界条件y(a)=0=y(b)(7)的非平凡解y(x),则有并且不等式右端的常数4不能被更大的数代替.Lyapunov不等式是A.Lyapunov在研究Hill方程解的稳定性时提出的.随后,A.Wintner、P.Hartman、A.Beurling、R.Brown、D.Hinton、G.Borg、R.Dahiya、B.Singh、R.Ferreira、A.Ca(?)ada、J.A.Montero、S.Villegas等人在Lyapunov不等式的基础上不断改进和推广,得到了一系列新的Lyapunov型不等式,使其逐渐成为微分方程和差分方程理论研究的有力工具(参见[8 17,20,21,23,24,27 30,33,51,58,59]).经典的Lyapunov不等式给出的条件虽然简单直观,但是对于u(x)的质量中心不在x-轴附近以及u(x)变号时的情况,一直没有更有效的方法.另外,仅有少量文献涉及非线性二阶常微分方程边值问题的Lyapunov-型不等式的研究.本文利用最优控制理论的办法给出了u(x)中心不在x-轴附近以及允许u(x)变号等情况下的最优性结果,并且将线性方程边值问题的结论推广到了非线性二阶常微分方程的边值问题中.这可以看作是对Lyapunov不等式的改进和推广.另一方面,虽然有关二阶微分方程边值问题可解性的文献很多([9,19,38,39,47,48,52]),据我们所知,大多数是在局部的、非共振的情形下给出的,考虑共振、跨共振、尤其是跨多个共振点情况的不多,共振、跨共振时边值问题解的稳定性尚需进一步研究.本文给出了方程跨多个共振点时,对应的线性方程及非线性方程Dirichlet边值问题和Neumann边值问题解的存在性和唯一性条件.本文所开展的对跨共振的二阶常微分方程的Lyapunov型不等式及其相关应用的研究,将有助于进一步探究二阶常微分方程的解的本质性质,丰富二阶常微分方程和Lyapunov型不等式的相关理论,并推动微分方程定性理论的发展.全文共分五章.第一章介绍了常微分方程及边值问题的研究历史和意义,回顾了目前已经取得的关于Lyapunov不等式以及跨共振的二阶常微分方程边值问题的研究成果,并简要总结了本文的主要工作和意义.第二章列出了本文所涉及的有关概念和基本定理.利用最优控制原理和不动点定理,我们在第三章给出了跨共振的二阶常微分方程Dirichlet边值问题的Lyapunov型不等式,改进、推广了已有文献中的相关结果,由此给出了跨多个共振点时判断二阶常微分方程Dirichlet边值问题可解性的方法,并给出了数值算例.最后,我们将线性问题的结论推广到非线性方程Dirichlet边值问题中,给出了新的、容易判断的二阶非线性方程边值问题的最优可解性条件.基于第三章的结果,我们在第四章进一步研究了跨共振的二阶常微分方程Neumann边值问题,建立了相应的Lyapunov型不等式,由此给出了跨多个共振点时线性方程Neumann边值问题的最优可解性条件,并给出了多个例子.同样的,我们将这些结论推广到了非线性方程Neumann边值问题中.最后,我们在第五章简要总结了本文的主要工作.
[Abstract]:In the 18th century , the existence and uniqueness of the solutions of the boundary value problems ( 1 ) - ( 2 ) ( or ( 3 ) - ( 4 )) have been widely used in physics , celestial mechanics , chemistry , biology , engineering , economics and so on . 鍊艰繛缁嚱鏁，
本文编号：2129087
[Abstract]:In the 18th century , the existence and uniqueness of the solutions of the boundary value problems ( 1 ) - ( 2 ) ( or ( 3 ) - ( 4 )) have been widely used in physics , celestial mechanics , chemistry , biology , engineering , economics and so on . 鍊艰繛缁嚱鏁，
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