几类偏微分方程的爆破分析

发布时间：2018-12-10 12:15

【摘要】：爆破分析是偏微分方程和几何分析研究中的一个重要工具,在研究方程解的存在性,解序列的紧性及其相关性质上都有重要应用.本文主要研究几类偏微分方程的爆破分析,涉及到对应于各向异性N-Laplacian算子的Liouville方程-QNu=Veu和张力场属于Lp.p≥6/5的逼近H-surfaces方程.算子有界性在分析和方程先验估计中有很多重要的应用,本文最后讨论了非齐性度量测度空间上的多线性奇异积分交换子在多重Lebesgue空间上的有界性.具体而言,本文的主要结果如下.1. -QNu=Veu的爆破分析这部分的主要结果是关于方程-QNu=Veu解的先验估计和爆破分析.定理0.1.设Ω是RN,N≥2中的有界区域且u是方程的弱解.则对任意f∈L1(Ω)和任意有定理0.2.设u和v分别是-QNu=f(x)0当x∈Ω和的弱解.则对任何δ∈(0,βN),有其中定理0.3.设Ω是RN,N≥2中的有界区域并且{un}n=1∝是方程-QNun=Vn(x)eun 当x∈Ω.的一列弱解,其中Vn(x)≥0,‖Vn‖Lp≤C1,1q≤∞且‖eun‖Lq'≤C2则通过选取子列仅出现下列情形中的一种情形:(ⅰ) un在Lloc∞(Ω)中有界;(ⅱ) 在Ω的任何紧子集上un→-∝一致成立;(ⅲ) s={p1,...,pm}是非空有限集且在Ω\s的任何紧子集上un→-∞一致成立.且对于任何的i,在Ω上Vneun依测度收敛到其中爆破集S被定义为S:={x∈Ω:(?)xn∈Ω使得xn→x和un(xn)→+∞}.定理0.4.设Ω是RN,N≥2中的有界区域且{un}n=1∞是方程-QNun=Vn(x)eun当x∈Q,(1)满足条件的一列弱解.令(Vn)是一列Lipschitz连续函数满足Vn(x)≥0,Vn(x)在C0(Ω)上一致收敛到V,‖%絍n‖L∞≤C.并且满足如果仅有一个爆破点,则相应的爆破值Ⅱ. 逼近H-surfaces的爆破分析这部分的主要结果是张力场属于Lp,p≥6/5的逼近H-surfaces的能量等式和no neck性质.定理0.5.假定{un}n=1∞(?)W1,2(B,R3)∩L∞(B,R3)是一列逼近H-surfaces △un=2H(un)un,x1∧un,x2+τ(un),其中H(·)∈L∞(R3),τ(un)∈Lp(B),p≥6/5,满足(ⅰ)‖%絬n‖L2(B)+‖H(un)‖L∞(R3)+‖τ(un)‖Lp(B)≤M∞,(ⅱ) 当m→∞时,un在W1,2(B\{0},R3)中强收敛到u.那么存在{u。}的子列仍然记为{un})和正整数L,使得对于任意的i=1,2,…,L,存在点列xni和rni以及非常数H-surfaces wi满足(1) 当n→∞,有xni→0和rni→0;(2)对任意的i≠j,有(3) ωi是un(xni+rnix)在Wloc1,2(R2,R3)上的弱极限或强极限;(4) 能量等式成立:(5)no neck性质:像集u(B)∪i=1L wi(R2)是连通的.Ⅲ. 非齐性度量测度空间上的多线性奇异积分交换子这部分主要考虑非齐性度量测度空间上的多线性奇异积分算子与RBMO(μ)函数生成的交换子在多重Lebesgue空间上的有界性.定理0.6.假定μ是Radon测度满足||μ||=∞.令1p1,p2+∞,f1∈Lp1(μ),f2∈Lp2(μ)和b1,b2∈RBMO(μ)若T是从L1(μ)×L1(μ)到L1/2,∞(μ)上的有界算子,则存在常数C0使得‖[b1,b2,T](f1,f2)‖Lq(μ)≤C‖f1‖Lp1(μ)‖f2‖Lp2(μ),其中注记0.7.当||μ||∞,由第三章第二节的引理4.6知,若G分别取Iα,2,[b1,Iα,2],[b2,Iα,1]和[b1,b2,Iα,2]时,都成立∫XG(f1,f2)(x)dμ(x)=0,则定理0.6仍然成立.
[Abstract]:Blasting analysis is an important tool in the study of partial differential equations and geometric analysis. It has important applications in the study of the existence of solutions, the compactness of solution sequences and their related properties. In this paper, we mainly study the blow-up analysis of some kinds of partial differential equations, involving the Liouville equation corresponding to anisotropic N-Laplacian operator-QNu=Veu and the approximate H-surfaces equation in which the tension field belongs to Lp.p 鈮，

本文编号：2370549