矩阵完备化和图的最小秩问题

发布时间：2017-03-19 04:05

  本文关键词：矩阵完备化和图的最小秩问题，，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：本文应用图论方法研究了特殊矩阵类的完备化问题和图的最小秩问题,这是组合矩阵论中的前沿课题。结合图论知识来研究特殊矩阵类的结构与性质有着直观、简洁的效果。矩阵完备化问题可借助于无向图和有向图的结构来进行研究。一般地,利用无向图来研究位置对称矩阵的完备化问题,利用有向图来研究位置非对称矩阵的完备化问题。不完备特殊矩阵类的完备化问题在地震数据重构、数据传输、密码传递、图像处理、信号处理、矩阵分析以及工程计算中都有着广泛的应用。此外,图论方法也可用于研究特殊矩阵类的最小秩问题。近年来图的最小秩问题是代数图论的一个重要研究课题。最小秩问题在经济学、统计学、通信网络和信息科学等中有着广泛的应用。本文利用无向图和有向图分别对位置对称和位置非对称10N-矩阵的完备化问题进行了研究;同时,也借助于有向图和二部图对非对称零-非零模式矩阵和符号模式矩阵的最小秩问题进行了研究。全文主要研究内容如下:1.矩阵完备化问题是指将不完备的特殊矩阵的未知元素通过某种方式被选取而使得完备化后的矩阵能达到一种所期望的形式。由于0N-矩阵在主对角元非零和已知非主对角元素的符号为的情况下才具有0N-完备化,本文对0N-矩阵可完备化的条件进行了弱化,另提出了一种特殊矩阵10N-矩阵的完备化问题。利用n-圈图和1-通弦图研究了主对角元可以为零和已知元素的符号非正的10N-矩阵的完备化问题。且证明了n阶不完备的位置对称10N-矩阵在n-圈图和1-通弦图下能被10N-完备化。基于-矩阵在有向双圈图下的完备化问题,本文利用传递竞赛图和有向双圈图研究了10N-矩阵完备化问题。一般地,10N-矩阵在传递竞赛图和有向双圈图下是不能被完备化的。由此,我们给出了不完备的位置非对称10N-矩阵能被完备化的充分条件,且证明了它在传递竞赛图和有向双圈图下能被10N-完备化。2.对于Johnson和Link提出的公开问题:是否存在7阶非对称零-非零模式矩阵P(G)使其最小秩mr(P(G))=4但tri(P(G))=3和mr(P(G))=5但tri(P(G))=4?本文不仅对此问题给出了肯定回答,而且借助于有向图和无向二部图,将7阶非对称零-非零模式矩阵的最小秩问题推广到了n阶非对称零-非零模式矩阵的最小秩问题。将有向图转换为无向二部图,我们给出了算法来寻求二部图中的最大完美匹配数|M￠|与非对称零-非零模式矩阵的tri(P(G))间的关系,且利用二部图的重要理论证明了|M￠|=tri(P(G))。并应用所得到的结果,研究了n阶非对称零-非零模式矩阵ija1(1)i+j+-ijaNP(G)在特殊有向图——有向2-树下的最小秩问题。证明了n阶非对称零-非零模式矩阵P(G)在线性有向2-树下的最小秩mr(P(G))=tri(P(G))。此外,对6,7阶非对称零-非零模式矩阵在非线性有向2-树下的最小秩问题进行了研究,且证明了6阶非对称零-非零模式矩阵的最小秩mr(P(G))=tri(P(G))和建立了7阶非对称零-非零模式矩阵的最小秩mr(P(G))与tri(P(G))之间的关系。3.对于非对称符号模式矩阵P,可借助于符号有向图来分析符号模式矩阵P的符号特征。符号有向图的最大SNS-符号模式矩阵是非对称符号模式矩阵P的最大非奇矩阵。符号二部图为研究符号有向图的最大SNS-符号模式矩阵和最小秩提供了一个新的途径。我们将符号有向图转换为符号二部图G(U,V),并提出了构造G(U,V)的最大子图G(U￠,V￠)的算法:一是在G(U￠,V￠)中寻求最大完美匹配M￠;二是寻求含有偶数个e-圈且不相交的M￠-交替圈。通过算法而构造了符号有向图的SNS-符号模式矩阵。4.符号模式矩阵的最小秩问题主要研究特殊矩阵类的最小秩的计算方法与最小秩的界。符号模式矩阵的迫零集和符号迫零集在图的最小秩问题中为常用参数,但无向图、有向图和符号迫零集只适用于确定方阵最小秩的界。对于非方阵最小秩的界,这些参数就失效了。基于符号模式矩阵的符号迫零集,我们提出了一种新概念——二部迫零集。二部迫零集的最大优点是它不仅适用于符号模式的最小秩问题中,而且适用于符号模式矩阵P的最小秩问题。我们利用二部迫零集建立了全符号模式矩阵P的最小秩的下界,且此界比已有的符号迫零集确定的界的适用范围更广。不完备矩阵的最小秩完备化问题是将未知元素以某种特定的方式确定下来使得完备后的矩阵的秩达到最小。本文利用所提出的二部迫零法研究了不完备的三对角全符号模式矩阵P的最小秩完备化问题,并证明了P在最小秩为mr(P)=1 mr(P)=2%%,和mr(P)3%=下能被完备化。n ′nn′m(n 1m)
【关键词】：10N-矩阵 零-非零模式矩阵 符号模式矩阵 完备化问题 最小秩问题
【学位授予单位】：电子科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O157.5
【目录】：

• 摘要5-7
• ABSTRACT7-12
• 主要符号表12-14
• 第一章 引言14-24
• 1.1 选题背景与意义14-20
• 1.1.1 重要特殊矩阵类的完备化问题14-17
• 1.1.2 零-非零模式矩阵的最小秩问题17-19
• 1.1.3 符号模式矩阵的最小秩问题19-20
• 1.2 重要的图论知识20-21
• 1.3 本文主要研究内容、方法和创新点21-23
• 1.4 本文结构安排23-24
• 第二章 矩阵的完备化问题24-45
• 2.1 定义与性质24-27
• 2.2 n阶不完备的位置对称N_0~1-矩阵的完备化问题27-37
• 2.2.1 n阶不完备的位置对称N_0~1-矩阵在无向n-圈下的完备化问题27-34
• 2.2.2 n阶不完备的位置对称N_0~1-矩阵在 1-通弦图下的完备化问题34-37
• 2.3 不完备的位置非对称N_0~1-矩阵A的完备化问题37-44
• 2.4 本章小结44-45
• 第三章 零-非零模式矩阵的最小秩与逆45-76
• 3.1 定义与性质45-47
• 3.2 n阶非对称零-非零模式矩阵的最小秩问题47-69
• 3.2.1 n阶非对称零-非零模式矩阵在线性有向 2-树下的最小秩问题48-58
• 3.2.2 非对称零-非零模式矩阵在非线性有向 2-树下的最小秩问题58-64
• 3.2.3 7阶零-非零模式矩阵的mr (P(G)) 与tri(P(G)) 的关系64-69
• 3.3 零-非零模式ASTP矩阵的逆矩阵69-75
• 3.4 本章小结75-76
• 第四章 符号有向图的最大SNS-符号模式矩阵和最小秩76-87
• 4.1 定义与性质76-79
• 4.2 符号有向图的最大SNS-符号模式矩阵79-84
• 4.3 符号有向图的最小秩84-86
• 4.4 本章小结86-87
• 第五章 全符号模式矩阵的二部迫零集87-103
• 5.1 定义与性质87-89
• 5.2 全符号模式矩阵的二部迫零集89-95
• 5.3 不完备的三对角全符号模式矩阵的最小秩完备化问题95-102
• 5.4 本章小结102-103
• 第六章 结论103-105
• 6.1 结论103-104
• 6.2 展望104-105
• 致谢105-106
• 参考文献106-113
• 作者攻博期间取得的成果113-114

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