各向异性三角化网格生成与优化研究及应用

发布时间：2017-03-20 01:10

  本文关键词：各向异性三角化网格生成与优化研究及应用，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：本文研究二维各向异性Delaunay三角化网格的生成与优化算法及其应用.当物体在不同方向上的变化速率不同时,例如树木向上生长与横向生长的速率是不同的,我们称其具有各向异性性质.各向异性问题在各向异性晶体材料、多孔介质、石油工程、粘性流模拟、图像处理等科学工程计算中有着广泛的应用.给出一个各向异性问题,进行有限元数值求解时,合适的网格剖分至关重要,选择符合各向异性特征的三角化网格是自然而然的想法.各向异性三角化网格由对称正定度量来反映各向异性特征.已知各向异性问题,如何定义合适的度量并自动生成高质量的各向异性三角化网格是本文的主要研究内容.本文首先提出了常度量下各向异性三角化网格生成与优化算法,该算法主要通过波前法由区域边界向内部逐次插入网格结点,同时基于Anisotropic Centroidal Voronoi Tessellation(ACVT)进行波前局部优化和网格整体优化,由此生成的常度量下各向异性三角化网格不仅可以很好地符合区域边界,而且其三角形单元在该度量意义下几乎为正三角形.我们将此网格应用于求解常系数各向异性椭圆偏微分方程(PDEs).通过大量的数值实验,找到了该类方程的匹配度量为系数矩阵的逆,基于匹配度量的各向异性网格上求解,我们发现方程离散系统的刚度矩阵条件数远小于其它非匹配网格,所得的数值解具有高精度,并且在网格结点上有超收敛现象,收敛阶为O(h2+α),α≈0.5,而在其它非匹配网格上不具有超收敛特性.因此,常系数各向异性椭圆偏微分方程的合适度量恰为系数矩阵的逆.对于度量随点变化而变化的情况,本文提出了新的各向异性变度量网格生成与优化算法,该算法通过在具有各向异性特征的背景网格上,进行结点的插入与删除,同时基于力平衡原理移动网格结点,生成了符合目标尺寸的高质量各向异性Delaunay网格.然后我们将变度量各向异性网格应用于变系数各向异性椭圆偏微分方程有限元求解中,将常系数时所得到的结论,即系数矩阵的逆为匹配度量,推广到变系数情况.通过数值实验发现,在变系数情况下,匹配的变度量各向异性网格上,同样具有好的离散系统、高精度的数值解以及结点上l2误差的超收敛现象.因此我们的结论适用于一般的各向异性椭圆偏微分方程:当系数矩阵为各向异性,方程右端项为各向同性时,选择系数矩阵的逆作为度量所生成的各向异性网格是方程相匹配的网格.另外我们根据显式多项式恢复(EPR)技术,对有限元解进行恢复,通过数值实验发现,EPR对匹配网格的作用明显优于其它网格.并基于EPR后验误差指示子进行各向异性网格自适应,数值结果证实了该指示子的有效性.最后我们探索了一个实际应用问题  具有强各向异性材料的电池热传导问题,通过在各向异性匹配网格上有限元求解,并与一致网格上的数值解进行分析比较,发现各向异性网格优于一致网格.
【关键词】：各向异性三角化网格 度量 各向异性椭圆偏微分方程 有限元方法 超收敛
【学位授予单位】：湘潭大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 摘要5-7
• Abstract7-18
• 第一章 引言18-23
• 第二章 预备知识23-34
• 2.1 各向异性度量23-26
• 2.1.1 欧式度量空间23-24
• 2.1.2 黎曼度量空间24-26
• 2.2 三角化网格26-34
• 2.2.1 Delaunay三角化26-28
• 2.2.2 三角化网格生成28-30
• 2.2.3 三角化网格优化30-34
• 第三章 常度量各向异性网格及其在PDE中的应用34-65
• 3.1 常度量ACVT基础知识34-35
• 3.2 常度量各向异性网格生成算法35-38
• 3.3 基于各向异性网格有限元求解常系数椭圆问题38-60
• 3.3.1 已知真解的常系数矩阵PDE40-58
• 3.3.2 未知真解的常系数矩阵PDE58-60
• 3.4 本章小结60-65
• 第四章 变度量各向异性网格及其在PDE中的应用65-85
• 4.1 变度量网格生成预备知识65-67
• 4.1.1 各向异性距离和各向异性三角形面积65-66
• 4.1.2 变度量各向异性修正Delaunay准则66-67
• 4.2 变度量各向异性网格生成算法67-71
• 4.2.1 各向异性背景网格生成67-68
• 4.2.2 基于力平衡的网格结点优化68-70
• 4.2.3 各向异性三角化网格图70-71
• 4.3 基于各向异性网格有限元求解变系数椭圆问题71-83
• 4.3.1 已知真解的变系数矩阵PDE73-82
• 4.3.2 未知真解的变系数矩阵PDE82-83
• 4.4 本章小结83-85
• 第五章 基于EPR的各向异性网格自适应85-107
• 5.1 EPR介绍85-88
• 5.2 基于EPR后验误差指示子88-90
• 5.3 数值算例90-106
• 5.3.1 EPR对匹配网格的有效性实验90-101
• 5.3.2 基于EPR指示子的自适应实验101-106
• 5.4 本章小结106-107
• 第六章 热电池强各向异性热传导问题107-115
• 6.1 问题描述107
• 6.2 求解及分析107-115
• 第七章 总结和展望115-116
• 参考文献116-125
• 致谢125-127
• 个人简历及攻读博士学位期间发表的学术论文127

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前3条

1 HUANG YunQing;SU YiFan;WEI HuaYi;YI NianYu;;Anisotropic mesh generation methods based on ACVT and natural metric for anisotropic elliptic equation[J];Science China(Mathematics);2013年12期

2 黄云清;杨伟;易年余;;基于显式多项式恢复的后验误差估计(英文)[J];湘潭大学自然科学学报;2011年03期

3 Max Gunzburger;;Advances in Studies and Applications of Centroidal Voronoi Tessellations[J];Numerical Mathematics:Theory,Methods and Applications;2010年02期

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本文编号：256913