玻色—爱因斯坦凝聚中的约束极小问题研究

发布时间：2017-03-21 14:05

  本文关键词：玻色—爱因斯坦凝聚中的约束极小问题研究，，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：本文主要研究R2中一类描述玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation,简记作：BEC)的能量泛函在L2范数下的约束极小问题.其中包括在粒子间相互吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚的平均场近似,在粒子间相互非齐次吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚中出现的坍塌和集中现象,以及非齐次质量临界薛定谔方程基态解的唯一性与极限行为.本文共分四章：在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景以及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作以及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们首先研究R2中一个多体薛定谔哈密顿系统,证明了在平均场理论的框架下,当粒子数N→∞,但是散射长度κ→0时,R2中在粒子间吸引作用下的玻色气体的基态能量会逼近于相关的Gross-Pitaevskii能量泛函的极小值.通过固定N|k|,就导出了R2中在粒子间吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚的一个平均场近似.在第三章中,我们考虑R2中在粒子间相互非齐次吸引作用m(z)下的玻色-爱因斯坦凝聚,其在平均场理论的框架下可以通过Gross-Pitaevskii能量泛函描述.我们证明了极小可达元存在当且仅当吸引作用力a满足aa*=||Q||22其中Q是R2中方程△u-u+u3=0唯一的径向对称正解.于此同时,我们同样分析了当a趋近于a*时极小可达元的集中行为以及对称破缺现象.我们发现如果位势函数的全局极小值点x0恰好也是m(x)的一个全局极大值点,那么当a趋近于a*时极小可达元全部质量会集中在x0处.在第四章中,我们通过分析相关的L2约束下的Gross-Pitaevskii能量泛函来研究一类带非齐次项质量临界的薛定谔方程的基态正解.与齐次情形,即m(x)三1,不同的是,我们证明了当参数a达到临界门槛值a*时,基态解的存在性与非存在性都有可能发生,这完全依赖于非齐次项m(x).另外对m(x)和位势函数V(x)加上适当条件,我们还分析了对几乎处处的a∈[0,a*)基态解的唯一性和径向对称性.最后若位势函数V(x)的全局极小值在一个非空区域内达到,并且m(x)在此区域内达到全局极大值,且在极大值点附近足够平坦,则当参数a达到临界门槛值a*时,方程不会存在基态解.然后我们将分析当a(?)a*时,基态解的极限行为,即基态解的全部质量会集中在m(x)的一个最平坦的全局极大值点处.
【关键词】：玻色-爱因斯坦凝聚 相互吸引作用 平均场近似 集中 坍塌 对称破缺 基态解 唯一性
【学位授予单位】：华中师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O469
【目录】：

• 内容摘要5-7
• Abstract7-11
• 第一章 绪论11-28
• 1.1 问题的背景及研究现状11-18
• 1.2 本文的记号18
• 1.3 预备知识18-20
• 1.3.1 Gagliardo-Nirenberg不等式18-19
• 1.3.2 嵌入引理19
• 1.3.3 几个椭圆型偏微分方程正则性引理19-20
• 1.4 本文的主要工作20-26
• 1.5 结构安排26-28
• 第二章 R~2中在粒子间相互吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚的平均场近似28-35
• 2.1 问题的提出及其主要结果28-30
• 2.2 定理2.1.1的证明30-35
• 第三章 关于在粒子间相互非齐次吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚中出现的坍塌和集中现象的研究35-57
• 3.1 问题的提出及其主要结果35-39
• 3.2 极小可达元的存在性与唯一性39-44
• 3.3 最优能量估计44-50
• 3.4 集中与径向破缺50-57
• 第四章 非齐次质量临界薛定谔方程基态解的唯一性与极限行为57-84
• 4.1 问题的提出及其主要结果57-62
• 4.2 极小可达元的存在性与唯一性62-72
• 4.2.1 参数临界门槛值处极小可达元的存在性62-68
• 4.2.2 极小可达元的唯一性68-72
• 4.3 极小可达元的爆破分析72-84
• 4.3.1 最优能量估计72-78
• 4.3.2 定理4.1.5的证明78-84
• 参考文献84-93
• 研究生期间已发表和待发表的论文93-94
• 致谢94-95

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1 杨松

本文编号：259747