切触黎曼几何上几何分析的一些研究

发布时间：2017-03-27 14:13

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【摘要】：切触黎曼流形是CR几何中伪厄尔米特流形的一般情形,它的殆复结构不一定是可积的。TWT联络是切触黎曼流形上的正则联络,在CR情形下它就是TW联络。Sub-Laplacian算子,共形变换和Yamabe问题也可以在这种流形上定义。本文主要研究了切触黎曼流形上的Lichnerowicz定理和Yamabe问题。第一章,我们介绍了伪厄尔米特流形和切触黎曼流形的研究背景和研究现状。并介绍了本文关于切触黎曼流形的Lichnerowicz定理和Yamabe问题的结论和所用到的研究方法。第二章,我们证明了切触黎曼流形上的Bochner'恒等式。并利用Bochner恒等式将CR几何的Lichnerowicz定理推广到切触黎曼几何的情形,给出了切触黎曼流形上sub-Laplacian算子非零第一特征值的下界。第三章,我们讨论了切触黎曼流形上的Yamabe问题。通过构造特殊标架和法坐标,我们证明如果殆复结构不是可积的,切触黎曼流形的Yamabe不变量严格小于Heisenberg群上的Yamabe不变量。故切触黎曼几何的Yamabe问题总是可解的。
【关键词】：切触黎曼流形 Bochner恒等式 sub-Laplacian算子 第一特征值 Yamabe问题
【学位授予单位】：浙江大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O186.12
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-8
• 1 绪论8-29
• 1.1 CR流形8-12
• 1.2 切触黎曼几何12-15
• 1.3 sub-Laplacian算子的第一特征值15-18
• 1.4 Yamabe问题18-21
• 1.5 主要结论及研究方法21-29
• 2 Bochner恒等式和sub-Laplacian算子的非零第一特征值29-60
• 2.1 切触黎曼流形上的联络系数,挠率和曲率29-36
• 2.2 二阶和三阶协变导数以及它们的交换公式36-42
• 2.3 Bochner恒等式42-45
• 2.4 两个有用的等式45-50
• 2.5 定理1.2的证明50-52
• 2.6 切触黎曼浸入的极小性52-60
• 3 Yamabe问题60-94
• 3.1 法坐标的构造60-71
• 3.2 殆复结构,曲率和Tanno张量的渐进展开71-78
• 3.3 正规化的特殊标架78-82
• 3.4 主要定理的证明82-94
• 附录A94-99
• A.1 在共形变换下联络系数的变换公式94-96
• A.2 曲率张量和Webster挠率张量在共形变换下的变换公式96-98
• A.3 R_(abcd) and A_(ab)的协变性98-99
• 附录B99-104
• B.1 u_2~(jk)的计算99-101
• B.2 引理3.36的证明101-104
• 参考文献104-110
• 作者简历110-111
• 发表文章目录111-112
• 致谢112-113

【共引文献】

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本文编号：270527