非线性扩散占优偏泛函微分方程时间离散化方法比较及若干相关研究

发布时间：2020-07-10 08:58

【摘要】：对于非线性扩散占优Volterra型偏泛函微分方程的时间离散化,以往最常用的方法是Volterra泛函微分方程(VFDE)的隐式Euler方法及梯形方法,有时候也使用隐式中点法及Bellen和Zennaro所建议的二级Lobatto IIIC Runge-Kutta方法。为了避免出现Bellen和Zennaro所指出的“order failure”和“stability failure”现象,本文约定恒使用VFDE的正则Runge-Kutta法(Canonical Runge-Kutta methods,abbr.CaRK),不使用连续Runge-Kutta法(abbr.CRK)。为方便计,我们将上述四种不同的时间离散化方法依次简记为CaIE、CaTr、CaIM及CaLo2。本文的第一项主要工作是通过理论分析和数值试验,对上述四种不同的时间离散化方法进行了仔细比较(参见第三章)。我们发现其中计算效率最高的是CaIM方法。这一发现为选择时间离散化方法提供了新的重要科学依据。其重要性在于对于求解上述类型的强非线性问题,有可能导致在不久的将来CaIM方法逐渐上升为使用最广的时间离散化方法之一,而CaTr方法有可能使用得越来越少,甚至有可能逐渐被淘汰。本文的第二项主要工作是证明了CaIM方法在一致时间网格上是二阶最佳B-收敛的(参见第二章)。这一新的阶结果比以往文献中已有的关于CaIM方法的阶结果提高了一阶。正是由于这一创新成果,才使人们意识到CaIM方法有可能比CaTr方法更好,因为前者是B-稳定且二阶最佳B-收敛的,而后者即使是对于求解常微分方程问题,也仅仅是A-稳定且二阶经典收敛的,而不是B-稳定和B-收敛的,因此对于求解上述类型的强非线性问题,后者有可能出现不稳定现象,甚至有可能导致整个计算失败。应当指出,CaIM方法的最佳B-收敛阶为2这一性质尽管要求时间网格均匀,但对于分段均匀的时间网格同样是成立的。而这正是实际应用中出现得最多的情形。此外,作为本项研究的延伸,我们构造了一类分数阶偏泛函微分方程的高精度算法(参见第四章)。
【学位授予单位】：湘潭大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.8

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本文编号：2748706