与次微分算子相关的非线性抛物型系统的定性研究

发布时间：2020-08-12 19:09

【摘要】：近几十年来,与次微分算子相关的非线性抛物型偏微分系统是数学领域的一个重要研究课题.物理学和生物学中的很多模型可以由具有次微分算子的非线性抛物型偏微分系统来刻画,其中具有限制的相变模型及具有滞后效应的非线性抛物型偏微分系统一直以来备受人们的关注.众所周知,滞后效应存在于物理学、化学、生物学、工程技术中的各个领域.例如在物理学中,我们可以在可塑性、摩擦、铁磁性、超导电性、电解吸附作用、还有具有形状记忆的材料中发现滞后现象.更为普遍的是,出现在相变模型中的滞后现象.在工程应用中,由于具有滞后效应的非线性抛物型偏微分系统反映了生物模型结构的相互作用和其它相互作用的物理过程,因此成为数学家、生物学家和物理学家研究的热点问题.本文借助次微分算子理论、不动点定理、抛物方程正则性方法研究一类与次微分算子相关的非线性抛物型偏微分方程解的性质.本论文分为三部分内容：第一部分即第二章,研究与次微分算子相关的非线性抛物型系统的适定性.第二部分即第三章,讨论与次微分算子相关的周期解问题.第三部分也就是第四章,研究了与次微分算子相关的最优控制问题.本文具体内容如下：第一章引入了与次微分算子相关的理论还有基本的物理学、生物学、化学模型.紧接着介绍了本文的主要结果以及后面各章中要用到的基本概念和定理等预备知识.第二章研究了与次微分算子相关的非线性抛物型系统的适定性.非线性抛物型系统包含具有滞后效应的生物模型和p-拉普拉斯方程.首先利用不动点定理研究了具有扩散和滞后效应的一系列生物模型解的适定性.推广了[2]的结果.因为很多生物种群的微分方程不满足反应项是全局李普希兹连续的,本部分在反应项仅仅是局部李普希兹连续的条件下,利用逼近方法证明了该问题非负解的存在性.第二部分研究了具有滞后效应和非线性扩散的种群生物模型解的适定性.需要指出的是,本部分所涉及的空间W01,PΩ)(p2)不是一个希尔伯特空间,因此[23]的理论不可以直接利用,因此我们通过一个合适的逼近问题解(σε,uε)的极限来获得原问题解的存在性.第三章研究了与次微分算子相关的非线性抛物型系统的周期解存在性.本章分为四个部分,第一部分研究具有限制的非等温相分离模型周期解的存在性.需要指出的是在[32,45,63,74]及其相关的文献中,关于温度θ或者α(θ)的第三边界条件是本质的,其相应的研究方法不可以应用于其次Neumann边界条件([62,65])或者Dirichlet边界条件,因此对本模型的研究需要新的的方法.在本部分我们利用粘性方法研究以上问题周期解的存在性并且去掉了对获得正则性ω∈W1,2(0,T；L2(Ω))起着至关重要作用的粘性项.第二部分研究多维的具有限制的Cahn-Hilliard方程周期解的存在性.我们利用次微分算子理论而不是抛物方程的定性理论得到多维Cahn-Hilliard方程周期解的存在性.我们的结果推广了Yin et al.([140])的结果.第三部分我们利用粘性方法研究了当热源周期变化时具有滞后效应的热方程周期解的存在性.准确的说,为了得到该周期解的存在性,我们引入一系列逼近问题.接着采用次微分算子理论和Schauder不动点定理证明了逼近问题解的存在性.最后利用对逼近解序列得到的先验估计,取极限得到原问题解的存在性.第四部分我们利用粘性方法研究具有非线性扩散方程和滞后算子的生物模型周期解存在性.具体来说,我们首先分析了非线性项中具有截断算子并且在方程中对变量σ增加一个扩散项的逼近模型.紧接着结合Poincare映射以及Leray-Schauder不动点定理获得逼近问题的解(σε,uε)最后,利用依赖于(σε,uε)的一致有界估计,取极限得到原问题的解(v,u)满足u≠0.第四章研究了与次微分算子相关的最优控制问题.本章主要分为四个部分：第一部分介绍了最优控制的背景资料.第二部分研究了具有状态约束的Cahn Hilliard方程所诱导的最优控制问题满足和F(u)c S,其中φ(u)=u3-u,T0,Ω是RN(N=1,2,3)上的具有光滑边界(?)Ω的有界区域,γ0是一个给定的参数.首先利用标准方法研究了带有控制项模型的适定性.在得到控制问题和逼近问题的关系之后,我们利用其中一个逼近问题得到最初控制问题解存在的必要性条件.第三部分研究了具有状态限制和障碍的固体-液体相场最优控制问题并且F(u)(?)S,其中,Ω在RN(N=1,2,3)上的具有光滑边界(?)Ω的有界区域φ(u)=u3-u,δ,γ,κ0为给定的系数,(?)I[-1,1](u)是一个定义于闭空间[-1,1]上的指标函数I[-1,1](u)的次微分,Bw是一个定义于Q上的强迫项,u0,v0是给定的初值数据.在得到控制问题和逼近问题的关系之后,我们利用其中一个逼近问题得到最初控制问题解的pontryagin's极大值原理.第四部分研究了具有状态限制和障碍的Lengyel-Epstein模型的最优控制问题满足和F(u)c S,其中Ω∈C2是具有光滑边界αΩ的RN(N=1,2,3)上的有界区域,u和v分别是无量纲化的激活剂的浓度和抑制剂的浓度；a,b,c和θ是化学系统的无量纲参数；δ0是主要物种的扩散系数.障碍(?)I[σ*,σ*](u)是指标函数I[σ*,σ*](u)在闭区间[σ,σ*]的次微分;κ0,σ*,σ*∈R都是给定的常数o0(x),h0(x)和Φ(x,t)都是给定函数,Bw是控制项.首先给出了具有控制量的相应初边值问题和逼近问题解的适定性.其次利用研究初边值问题解的类似方法得到相应共轭系统的适定性.紧接着我们讨论了控制问题和其逼近问题的关系.最后,我们利用其中一个逼近问题得到最初控制问题解的pontryagin's极大值原理.
【学位授予单位】：北京理工大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.3

【共引文献】