分数阶扩散—波动方程和分数阶变分问题的高精度算法

发布时间：2020-10-30 11:24

　　 近年来,随着对自然科学和社会科学中各种复杂系统的深入研究,分数阶微积分在反常扩散、黏弹性力学、软物质、电磁学、系统控制、生物医学、经济学等诸多领域有了许多成功的应用,有关其理论和应用的研究在国际上已成为热点。分数阶微分方程在描述一些具有记忆性或非局部性质的过程或材料时比整数阶微分方程模型更有优势,其解析解通常难以获得且大多含有计算困难的特殊函数,这激发了广大研究者从事分数阶系统数值求解的兴趣。当前求解分数阶扩散-波动方程、分数阶变分问题及分数阶最优控制问题的数值方法主要集中于有限差分方法,其存储要求高,计算量大,精度低。又因sinc函数和分数次Jacobi多项式在逼近许多特殊函数时具有指数阶收敛性,故本文充分利用它们的这种优点,采用它们作为基函数,发展了求解分数阶扩散-波动方程初边值问题、分数阶变分问题及分数阶最优控制问题的高精度数值方法。主要内容和成果如下:第一章介绍了分数阶微积分和分数阶扩散-波动方程、分数阶变分问题与分数阶最优控制问题及其求解方法的研究背景和现状,提出了本文的研究动机,并简要列出了全文的研究内容和结构。第二章首先介绍了与论文相关的一些特殊函数和Jacobi正交多项式,然后对三种常用的分数阶微积分的基本概念及其若干性质进行了阐述。第三章结合有限差分方法和sinc配置逼近对一类分数阶扩散-波动方程的初边值问题进行了数值求解。首先利用有限差分方法在时间方向上对原问题进行了半离散化,然后在空间方向上采用sinc配置法得到了全离散格式。根据sinc函数的一些性质,在每个时间步上,原问题被简化为求解线性代数方程系统。该方法的稳定性和收敛性理论被严格建立,并通过数值试验证实了理论结果。接下来,从积分形式的主方程出发导出了标准的分数阶扩散方程,证明了该积分形式的主方程与连续时间随机游走(CTRW)模型是等价的,并采用sinc-Chebyshev配置方法对前述分数阶扩散方程和分数阶扩散-波动方程进行了数值求解。数值例子验证了该方法的可行性和高效性。特别地,当在sinc配置方法中引入双指数变换时,空间方向的精度得到了较大提高。第四章发展了一种指数精度的Rayleigh-Ritz方法求解分数阶变分问题。基于分数阶Sturm-Liouville特征问题的分数次Jacobi多项式被用来作为基函数以逼近分数阶变分问题的真解,并通过Rayleigh-Ritz技术得到了与原问题相关的线性代数方程系统。进一步分析了该方法的分数阶变分的收敛性,并通过数值试验证实了该方法具有指数收敛。所发展的方法在精度上优于当前各文献中提出的方法,并具有较低的存储要求。第五章讨论了一类广义分数阶最优控制问题的数值求解。首先通过分数阶变分法导出了该问题的必要条件,得到了相应的分数阶Hamilton系统。进一步,针对实际应用中广泛出现的具有二次型性能指标的分数阶线性系统最优控制问题,给出了一种基于移位分数次Jacobi多项式的数值求解方法,分析了其分数阶变分的收敛性。数值试验证实了该方法具有指数精度。
【学位单位】：湘潭大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2015
【中图分类】：O241.82
【部分图文】：

图 2.1 Gamma函数在区间( 5,5]上的图形Beta函数t函数又称为第一类欧拉积分，其定义如下。.2 对任意Re(z) > 0,Re(ω) > 0，Beat函数B(z,ω)定义为B(z, ω) =∫10τz 1(1 τ )ω 1dτ. 了Beat函数的三维图形。Beta函数满足如下性质：Beta函数关于变量z、ω对称，通过变量变换可得B(z,ω) = B(ωBeta函数与Gamma函数之间的关系为B(z, ω) =Γ(z)Γ(ω)Γ(z + ω).

数Mittag-Leffler函数Eα(z)。在图2.3中，展示了α取不同值时单参数Mittag-Leffler函数的曲线。Mittag-Leffler函数满足如下性质：（1）对任意|z| < 1，广义Mittag-Leffler函数满足∫∞0e ttβ 1Eα,β(tαz)dt =1z 1.（2）单参数Mittag-Leffler函数对任意z ∈ C收敛。（3）对任意|z| < 1，单参数Mittag-Leffler函数的Laplace变换满足∫∞0e ztEα(zα)dt =1z z1 α.

图 2.4 sinc函数在区间[ 6,6]上的图形对任意的h > 0，下面给出带有均匀网格节点的移位sinc函数的表达式S(k, h)(z) = sinc(z khh), k = 0, ±1, ±2, . . . . (2.1函数在插值节点xj= jh处有如下结论S(k, h)(jh) = δkj={1, k = j,0, k = j.于函数f(x),x ∈ R，若级数C(f, h)(x) =∑k∈Zf(kh)S(k, h)(x)敛，则称该级数为f(x)的Whittaker函数，并有如下定理。
【参考文献】

相关期刊论文 前2条

1 徐明瑜;谭文长;;中间过程、临界现象——分数阶算子理论、方法、进展及其在现代力学中的应用[J];中国科学G辑:物理学、力学、天文学;2006年03期

2 常福宣,陈进,黄薇;反常扩散与分数阶对流-扩散方程[J];物理学报;2005年03期

本文编号：2862402