哈密顿—雅克比方程的数值解法

发布时间：2017-04-07 08:11

  本文关键词：哈密顿—雅克比方程的数值解法，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：首先，我们研究了哈密顿-雅克比方程的数值解法。 一般而言，即使对于具有光滑数据的哈密顿-雅克比方程，，随着时间的推移，它的解会出现奇性。在数值求解上，大家寻找一致单调格式去近似哈密顿-雅克比方程的粘性解。 在第二章，我们针对依赖时间的哈密顿-雅克比方程的柯西-狄利克雷问题构造了单调格式。由于如何去处理边界点和内点的联系不是那么显然的，因此这类问题的数值格式的构造是有一定理论困难的。为了解决这个问题，我们针对带有弱狄利克雷边值条件的哈密顿-雅克比方程，提供了一类新的抽象单调格式，并且证明了这一格式具有1/2阶的收敛率。基于抽象的收敛结果，我们针对求解哈密顿-雅克比方程的柯西-狄利克雷问题，构造了数值上有用的收敛格式。首先，我们针对柯西问题构造了一个收敛的有限体积格式，这个格式的三角剖分只需要满足通常的正则性条件。之后，我们在边界上重新构造了能够准确反映抽象格式性质的有限体积近似,并且针对哈密顿-雅克比方程的柯西-狄利克雷问题给出了收敛的有限体积格式。 对于守恒律方程和哈密顿-雅克比方程的近似，WENO格式是一个成功的高阶数值方法。基于重构中的自适应方法，WENO格式在解的光滑区域能获得高阶精度，并且本质上不波动、敏锐的奇性解决。另一方面，虽然这一格式具有好的数值性质，但是对于某种非凸问题，这个数值格式不能收敛到哈密顿-雅克比方程的粘性解。在第三章，针对依赖时间的哈密顿-雅克比方程，我们提出了构造高阶收敛格式的一般方法，并且讨论了收敛性问题。依靠高阶格式和一阶单调格式的合理组合，使得所得到的格式是收敛的，同时具有高阶精度。我们还提供了针对非凸哈密顿问题的自适应算法，并且进行了详细的数值研究来证明格式的收敛性。此外，我们认为类似的自适应策略能够被应用于任何一双消散和高阶（压缩）重构，包括非结构网格情形。这将成为我们将来研究的话题。 在第四章，我们研究了水平集类方程的数值解法。水平集类方程源自于曲线（曲面）进展和图像处理问题，并且有很多其他方面的应用。针对平均曲率流水平集方程，半隐有限体积（元）格式被提出。这个格式在时间上基于半隐离散，对于空间近似，使用初始和对偶控制体积去离散。我们还针对水平集类图像光滑化模型，构造了有限体积元型的数值格式。这个格式是基于一种按照各向同性和各向异性扩散的算子分裂。我们给出了格式所具有的一些性质，包括稳定性和一致性。另一方面，在一些应用中，例如图像光滑化，保尖角性是一种关键性质。为了获得更好的图像复原，提出了一种基于保尖角流的图像光滑化模型。研究目的是强调水平集的被局部估计的平均曲率在保尖角流和图像处理应用中的作用。为了验证所提模型的有效性，与曲线进展和图像降噪有关的数值结果被给出。
【关键词】：哈密顿—雅克比方程 单调格式 高阶格式 有限体积法 水平集类方程 图像降噪
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.8
【目录】：

• Abstract4-6
• 摘要6-8
• CONTENTS8-10
• CHAPTER 1 INTRODUCTION10-24
• 1.1 Numerical Methods for Hamilton-Jacobi Equations10-18
• 1.1.1 Concept of Viscosity Solution10-12
• 1.1.2 First Order Numerical Methods12-15
• 1.1.3 High Order Numerical Methods15-18
• 1.2 Numerical Methods for Level Set Like Equations18-22
• 1.3 Organization of the Work22-24
• CHAPTER 2 FINITE VOLUME SCHEMES FOR CAUCHY-DIRICHLET PROBLEMS OF HJ EQUATIONS24-51
• 2.1 Theoretical Results on Cauchy Problems24-27
• 2.2 Monotone Schemes for Cauchy Problems27-35
• 2.2.1 Finite Volume Scheme for Cauchy Problem27-32
• 2.2.2 Central Monotone Scheme for Cauchy Problem32-35
• 2.3 Finite Volume Schemes for Cauchy-Dirichlet Problems35-47
• 2.3.1 Abstract Monotone Scheme for Cauchy-Dirichlet Problem36-44
• 2.3.2 Construction of Finite Volume Schemes44-47
• 2.4 Numerical Results47-51
• CHAPTER 3 CONVERGENT HIGH ORDER SCHEMES FOR CAUCHY PROBLEMS OF HJ EQUATIONS51-81
• 3.1 Examples on the Performance of WENO Schemes for Hamilton-Jacobi Equation51-56
• 3.2 Construction of Convergent High Order Schemes56-66
• 3.2.1 Construction of the Schems56-58
• 3.2.2 Convergence of the Scheme58-66
• 3.3 Algorithms for Convergent High Order Schemes66-70
• 3.4 Numerical Examples70-81
• CHAPTER 4 FINITE VOLUME METHODS FOR LEVEL SET LIKE EQUATIONS81-120
• 4.1 Finite Volume Methods for Mean Curvature Flow Equation81-94
• 4.1.1 Construction of Semi-implicit Co-volume Schemes81-88
• 4.1.2 Stability and Consistency88-94
• 4.2 Stability of Finite Volume Scheme for Level Set Like Equation94-103
• 4.3 Corner-preserving Flow and Image Denoising103-108
• 4.3.1 Corner-preserving Flow Models103-105
• 4.3.2 Construction of Finite Volume Element Schemes105-108
• 4.4 Computational Experiments108-120
• 4.4.1 Mean Curvature Flow108-112
• 4.4.2 Corner-preserving Flow112-115
• 4.4.3 Image Denoising Based on Corner-peserving115-120
• CHAPTER 5 CONCLUSIONS120-122
• BIBLIOGRAPHY122-134
• 作者简介及科研成果134-135
• 致谢135

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前1条

1 高鑫,刘来福,黄海洋;基于PDE和几何曲率流驱动扩散的图像分析与处理[J];数学进展;2003年03期

  本文关键词：哈密顿—雅克比方程的数值解法，由笔耕文化传播整理发布。

本文编号：289998