逆散射理论中传播特征值问题的若干结果

发布时间：2017-04-07 22:14

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【摘要】：二十世纪八十年代,传播特征值问题源于非均匀介质的逆散射理论,目前已经成为逆散射理论中一个非常重要的组成部分.在逆散射理论中,人们关心如何由散射波的信息去确定散射介质的性质,进而监测均匀介质中的异常情况,确定物质的完整性.因此在实际问题中,需要避开不发生散射的入射波,而不发生散射的入射波的频率即对应于传播特征值问题的特征值.因此传播特征值问题引起了很多学者的广泛关注.然而,传播特征值问题是一个非自伴,非线性的边值问题,它的理论不能被椭圆算子特征值问题的经典理论所覆盖.因此传播特征值问题是逆散射理论中的一个非常重要而且困难的问题.本文研究了一维传播特征值问题和三维球对称传播特征值问题.对于维问题,考虑非实传播特征值的存在性,传播特征值在复平面内的分布状况,以及传播特征值关于问题系数的连续依赖性.对于三维球对称问题,考虑逆问题中的唯一确定问题,其主旨在于利用最少的谱数据(包括传播特征值以及规范常数等)以确保系统的唯一性.第一章介绍了传播特征值问题的物理背景,研究现状以及我们所得到的主要结果.第二章考虑了定义在区间[0,1]上的传播特征值问题.利用Rouch∈定理,整函数零点与其导函数零点之间的关系,给出了非实传播特征值存在的充分条件以及系数为常数时,所有传播特征值为实值的充分必要条件.第三章考虑了传播特征值问题中的两个方程同时含有未知函数的情况.利用Rouche定理以及函数极限的保号性,给出了部分传播特征值在复平面内的分布状况以及实传播特征值存在的充分条件.第四章利用解析函数零点的连续性定理,研究了孤立传播特征值和对应的传播特征函数关于问题系数的连续依赖性.第五章研究了球对称的传播特征值问题,其中一个方程形如u″+[λp(t)-q(t)]u=0,即同时含有两个未知函数p和q.当(?)1时,证明了函数p和q可以由两组传播特征值唯一确定.另外,如果p在点t=1处满足一定的条件,我们证明了,当dt=1时,函数p和q可以由两组传播特征值唯确定,当(?)1时,函数p和q可以由两组传播特征值和两组正规化数唯一确定.
【关键词】：传播特征值问题 非实传播特征值 传播特征值的分布 连续依赖性 逆问题 正规化常数
【学位授予单位】：天津大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O411
【目录】：

• 摘要4-6
• ABSTRACT6-10
• 第一章 绪论10-21
• 1.1 问题的来源10-12
• 1.2 问题的研究意义和研究现状12-15
• 1.3 本文的主要工作15-21
• 第二章 一维传播特征值问题中非实特征值的存在性21-37
• 2.1 引言21-22
• 2.2 预备知识22-25
• 2.3 n(x) 不是常数时非实传播特征值的存在性25-32
• 2.4 n(x) 为常数时非实传播特征值的存在性32-37
• 第三章 一维传播特征值问题中特征值的分布37-59
• 3.1 引言37-39
• 3.2 预备知识39-47
• 3.3 传播特征值在复平面内的分布47-54
• 3.4 传播特征值在实轴上的存在性和渐近性54-59
• 第四章 一维传播特征值问题中孤立特征值关于问题系数的连续依赖性59-73
• 4.1 引言59-60
• 4.2 传播特征值的存在性和离散性60-64
• 4.3 传播特征值和对应传播特征函数关于问题系数的连续性64-69
• 4.4 定理的应用69-73
• 第五章 Liouville变换和球对称传播特征值问题的唯一确定性问题73-81
• 5.1 引言73-74
• 5.2 预备知识74-78
• 5.3 反问题78-81
• 5.3.1 a < 1 的情况78-79
• 5.3.2 a ≥ 1 的情况79-81
• 总结与展望81-84
• 参考文献84-90
• 发表论文和参加科研情况说明90-91
• 符号说明91-92
• 致谢92-93

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