线性纠错码的若干问题研究

发布时间：2017-05-07 17:00

  本文关键词：线性纠错码的若干问题研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：有限域上的指数和不仅是数论中一个基本的研究对象,而且在编码和密码学领域也有着广泛的应用。本文将利用有限域上的指数和决定分圆序列的线性复杂度和极小多项式,以及几类循环码的重量分布,给出常循环码满足厄尔米特对偶包含关系的一个方法,进而构造量子MDS码(即,极大距离可分码)。本文的主要研究成果包括如下三部分。首先,设p和l为不同的奇素数,l≠2,3,e是p-1的一个因子。我们计算有限域Fl上阶数为e=3,4,6的高斯周期的值。作为其应用,我们构造有限域F,上几类阶数分别为e=3,4,6的分圆序列,给出这些分圆序列的线性复杂度和极小多项式,再通过分圆序列的极小多项式来构造几类有限域Fl上长度为p的循环码。当满足一些特定条件时,我们给出分圆序列对应循环码的极小距离的下界。当l=3时,我们也给出几类三元广义分圆序列的线性复杂度和极小多项式。其次,设Fq为g元有限域,其中g为素数的幂。设Fr为Fq的一个扩域,其中r=qm,α为有限域Fr的本原元。假设n=n1m2满足gcd(n1,n2)=1且n|r-1。记N1=(r-1)/n1,n2-(r-1)/n2,g1=αN1, g2=αN2,g=g1g2。定义Fg上循环码为c={c(a,b)=(Trr/q(a+b),Trr/q((ag1+bg),…,Trr/q(ag1n-1+bgn-1)):a,b∈Fr},其中Trr/q表示Fr到Fq的迹映射。我们利用有限域上指数和的值分布表示上述循环码的重量分布,特别地,这类循环码包含一类二重循环码和一类三重循环码。最后,由厄尔米特(Hermite)构造法,可以利用有限域上满足厄尔米特对偶包含条件的常循环码来构造量子极大距离可分码。本文给出常循环码满足厄尔米特对偶包含关系的一个方法,运用此方法,不仅能够得到一些已知参数的量子MDS码,而且可以得到几类具有新参数的量子MDS码。
【关键词】：有限域 指数和 高斯周期 序列 循环码 重量分布 常循环码 量子码
【学位授予单位】：南京航空航天大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O157.4
【目录】：

• 摘要4-5
• ABSTRACT5-10
• 第一章 绪论10-24
• 1.1 引言10-11
• 1.2 循环码理论及其研究现状分析11-14
• 1.3 量子纠错码及其研究现状14-15
• 1.4 本文的主要工作15-24
• 第二章 编码理论基础24-35
• 2.1 指数和24-26
• 2.2 序列26-27
• 2.3 常循环码基本概念27-31
• 2.4 量子码基本概念31-35
• 第三章 高斯周期、分圆序列和循环码35-60
• 3.1 有限域F_l上的高斯周期35-44
• 3.1.1 F_l上3阶高斯周期38-39
• 3.1.2 F_l上4阶高斯周期39-43
• 3.1.3 F_l上6阶高斯周期43-44
• 3.2 有限域F_l上低阶分圆序列的线性复杂度44-49
• 3.2.1 三阶分圆序列45-46
• 3.2.2 四阶分圆序列46-48
• 3.2.3 六阶分圆序列48-49
• 3.3 由分圆序列构造的循环码49-52
• 3.4 F_3上六阶广义分圆序列的线性复杂度及BCH码52-60
• 3.4.1 F_3上六阶广义分圆序列的线性复杂度52-58
• 3.4.2 六阶广义分圆序列对应的BCH码58-60
• 第四章 具有两个非零点循环码的重量分布60-74
• 4.1 循环码的重量分布60-65
• 4.2 几类循环码的重量分布65-74
• 第五章 由常循环码构造量子码74-99
• 5.1 引理和预备知识74-78
• 5.2 量子码的构造78-91
• 5.2.1 en|q~2-1情形78-83
• 5.2.2 en|q~4-1,en|q~2-1情形83-91
• 5.3 长度为(q~2-1)/11的新的量子码91-93
• 5.4 长度为(q~2+1)/5的新的量子码93-99
• 第六章 总结与展望99-101
• 参考文献101-107
• 致谢107-108
• 在学期间的研究成果及发表的学术论文108-109
• 攻读博士学位期间发表（录用）论文情况108-109
• 攻读博士学位期间参加科研项目情况109

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本文编号：350210