黎曼流形上外微分形式理论在A-调和方程中的应用研究

发布时间：2017-05-12 09:16

  本文关键词：黎曼流形上外微分形式理论在A-调和方程中的应用研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：黎曼流形上的外微分形式理论在黎曼流形的大范围分析理论、偏微分方程、物理学和力学等学科中扮演着十分重要的角色。A-调和方程是一类二阶拟线性椭圆偏微分方程,它在位势理论、流体力学、弹性理论、相对论、电磁场、塑性力学、微分几何以及几何函数论等许多领域中都有着非常广泛的应用。因此在外微分形式理论的基础上研究A-调和方程具有十分重要的意义。本文主要研究黎曼流形上用外微分形式理论描述的A-调和方程及其在带边黎曼流形上的广义Dirichlet边值问题、障碍问题和变分问题,研究工作包括以下四个方面:首先,由于A-调和方程本身的散度结构,利用算子理论研究解的性质。应用黎曼流形上的Morrey引理和等周型不等式本文建立了A-调和张量在黎曼流形紧子集上的H¨older连续性估计。其次,在带边黎曼流形上考虑A-调和方程的广义Dirichlet边值问题。在其可解的基础上,证明了解的积分估计和弱逆H¨older不等式。定义了外微分形式序列的弱收敛并证明了解关于非齐次项的稳定性。然后,根据A-调和张量的定义表达式以及A算子的性质可知,我们可以考虑低于自然可积指数的弱A-调和张量。本文证明了黎曼流形上的Poincar′eSobolev不等式,并结合Rn上Lp外微分形式的Hodge分解定理在Rn的开子集?上建立了弱A-调和张量的弱逆H¨older不等式。又基于A-调和方程与障碍问题的紧密联系,本文在Rn的有界正则域?上讨论了其广义边值问题的??r,θ?,ψ-障碍问题。证明了其很弱解的存在唯一性和拟极小化??r,θ?,ψp?,Λl′1q上r-Dirichlet积分的性质,并建立了很弱解关于障碍外微分形式的稳定性。最后,注意到A-调和方程具有变分结构,还可以应用变分方法来讨论解的存在性。本文将变分方法推广到外微分形式空间,在向量值外微分形式空间上建立了相关泛函的极值问题并证得了其极小值点的存在性。这也是外微分形式理论的又一个重要的应用。
【关键词】：A-调和方程 黎曼流形 外微分形式 障碍问题 变分问题
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O186.12
【目录】：

• 摘要4-5
• ABSTRACT5-11
• 第1章 绪论11-25
• 1.1 黎曼流形上的外微分形式理论11-18
• 1.2 黎曼流形上外微分形式的A-调和方程18-23
• 1.2.1 研究背景19-20
• 1.2.2 研究现状20-23
• 1.3 本文的主要内容与结构23-25
• 第2章 黎曼流形上外微分形式的Lp理论25-37
• 2.1 广义外微分25-30
• 2.2 外微分形式空间中的弱收敛30-32
• 2.3 带边黎曼流形上的非线性Hodge理论32-36
• 2.4 本章小结36-37
• 第3章 黎曼流形上的拟线性椭圆方程37-50
• 3.1 记号与准备工作37-42
• 3.1.1 黎曼流形上的Sobolev嵌入定理38-40
• 3.1.2 黎曼流形上的Morrey引理40-42
• 3.2 A-调和张量的H ¨older连续性42-45
• 3.3 弱A-调和张量的弱逆H ¨older不等式45-49
• 3.4 本章小结49-50
• 第4章 带边黎曼流形上的广义Dirichlet边值问题50-67
• 4.1 记号与准备工作50-51
• 4.2 广义Dirichlet边值问题51-58
• 4.2.1 积分估计52-53
• 4.2.2 解的稳定性53-55
• 4.2.3 弱逆H ¨older不等式55-58
• 4.3 障碍问题的很弱解58-66
• 4.3.1 存在性与唯一性59-62
• 4.3.2 拟极小值点62-64
• 4.3.3 稳定性64-66
• 4.4 本章小结66-67
• 第5章 外微分形式的变分67-81
• 5.1 记号及引理67-68
• 5.2 弱下半连续性68-76
• 5.2.1 凸性与弱下半连续性68-69
• 5.2.2 非凸性与弱下半连续性69-76
• 5.3 极小值点的存在性76-77
• 5.4 应用77-80
• 5.5 本章小结80-81
• 结论81-82
• 参考文献82-90
• 攻读博士学位期间已发表和已投出的论文90-92
• 致谢92-93
• 个人简历93

【共引文献】

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本文编号：359374