关于均匀Cantor集上加倍测度和填充测度的若干研究

发布时间：2017-05-12 09:17

  本文关键词：关于均匀Cantor集上加倍测度和填充测度的若干研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：本论文主要讨论了均匀Cantor集上加倍测度,填充测度和填充预测度的一些性质. 对均匀Cantor集上加倍测度,我们主要讨论下面两个问题： (1)在给定的均匀Cantor集上,什么样的测度是加倍的? (2)在给定的均匀Cantor集上,什么样的加倍测度可以延拓成单位区间上加倍测度? 我们给出了问题(1)的完整回答,并且完整刻画了均匀Cantor集上加倍测度,给出了均匀Cantor集上一般概率测度加倍的充要条件.对问题(2),我们考虑了最终均匀测度,并且证明了这样的测度可延拓成[0,1]区间上加倍测度当且仅当事先给定的均匀Cantor集是Lebesgue正测集. 对均匀Cantor集上填充测度和填充预测度,我们主要讨论下面两个问题： (3)对给定的加倍纲函数,是否存在均匀Cantor集,使得它在这个纲函数诱导下的Hausdorff测度,填充测度和填充预测度都是正有限的? (4)对什么样的均匀Cantor集,往里面加可数个点后得到的集合,可以找到一个加倍的纲函数,使得这个集合具有正有限的且不相等的填充测度和填充预测度? 我们给出了问题(3)的肯定回答,即对任给纲函数g,存在均匀Cantor集E使得0H9(E)≤P9(E)≤V09(E)∞.对问题(4),我们给出了一类均匀Cantor集,并证明了对每个这样的均匀Cantor集E,存在合适的可数集F和加倍纲函数g,使得E U F是紧集且具有正有限的不相等的填充测度和填充预测度. 这篇论文主要包含五章.第一章阐述了这篇论文的背景和动机.第二章给出了我们的工作需要的一些记号和已知结果.在第三章,我们考虑了一类特殊的均匀Cantor集,即直线上的压缩比相同且不满足强分离条件的自相似集.我们证明了对这样的自相似集上自相似测度是加倍的当且仅当测度的第一个权和最后一个权相等.在第四章,我们先给出了任一均匀Cantor集上概率测度加倍的充要条件,然后讨论了这些加倍测度的延拓问题.在第五章,我们证明了对任一给定的加倍纲函数g,存在Cantor集E,使得9同时是E的Hausdorff纲,填充纲和预填充纲.对问题(4),我们找到了一类均匀Cantor集,存在可数集F和加倍纲函数g,使得E U F是紧集且具有正有限的不相等的填充测度和填充预测度.但没能证明对每个均匀Cantor集都有这些性质,但我们证明了对任意s∈[0,1/2],存在Cantor集E满足这个性质且dimp E=s.在第五章,我们还证明了对给定的均匀Cantor集必定存在Hausdorff,填充和预填充纲,且这个纲就是均匀Cantor集上均匀分布的分布函数.最后,我们针对均匀Cantor集的填充测度和填充预测度展开了进一步的讨论.
【关键词】：均匀Cantor集 自相似集 加倍测度 填充测度 填充预测度
【学位授予单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O189
【目录】：

• 摘要4-6
• Abstract6-8
• 目录8-9
• 1 概述9-15
• 2 预备知识15-34
• 2.1 测度与维数15-19
• 2.2 自相似集和自相似测度19-21
• 2.3 均匀Cantor集21-22
• 2.4 加倍测度及其存在性22-31
• 2.5 加倍测度的胖集和瘦集31-34
• 3 自相似集上自相似测度的加倍性34-39
• 3.1 引言及主要结果34-36
• 3.2 定理3.2的证明36-39
• 4 均匀Cantor集上概率测度的加倍性39-54
• 4.1 引言及主要结果39-43
• 4.2 定理4.1的证明43-49
• 4.3 定理4.2的证明49-51
• 4.4 定理4.3的证明51-54
• 5 均匀Cantor集和填充测度54-68
• 5.1 引言及主要结果54-56
• 5.2 定理5.1的证明56-58
• 5.3 定理5.2的证明58-59
• 5.4 定理5.3的证明59-65
• 5.5 注记65-68
• 参考文献68-74
• 致谢74-75
• 附录1 攻读学位期间发表论文目录75-76
• 附录2 攻读博士学位期间参与的科研项目76

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