可积系统理论在仿射球面构造中的应用研究

发布时间：2017-05-20 00:02

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【摘要】：本文主要利用可积系统的方法,研究经典仿射微分几何中仿射球面及其构造理论。尽管仿射球面完备性以及分类都有比较完整的结果,但是人们对于非平凡的定仿射球面显式表达式及其图像还知之甚少。近年来,Loftin-Yau-Zaslow关于SYZ镜像对称猜想的重要工作表明需要利用满足特殊条件的定仿射球面的显式表达式,来具体构造镜像对称结构,但如何显式地构造出这样的定仿射球面依然是一个公开的问题。利用定仿射球面的可积系统结构,我们可以将构造新仿射球面的过程看作环群的作用。我们通过构造出环群简单元,并证明相应的环群分解定理,进而给出新的定仿射球面显式的表达式,并利用得到的表达式构造具体定仿射球面的例子。此外,我们还进一步分析完善了Hildebrand的完备双曲仿射球面,具体地计算了其完全显式的表达式和可积系统的结构。本文主要的内容有：在第一、二章我们介绍了仿射球面研究的发展历史和相关的研究现状,并简要介绍了本文的主要工作。此外,我们还回顾了仿射微分几何的基本概念以及半齐次锥的分类。在第三章中,我们首先总结了三维欧氏空间中双曲型和椭圆型两种定仿射球面的环群表达式,然后构造出两类满足实化条件的扭环群有理元,分别含三个单极点和六个单极点。对于这两种有理元,我们先分别证明了相应的Iwasawa型的环群分解定理,并用它给出双曲型和椭圆型仿射球面的dressing作用,得到了类似经典Tzitzeica变换的变换公式。最后利用得到的理论,我们具体地构造了一些新的仿射球面的例子,并画出图像。通过分析结论,我们也了解到在更多情况下,全局的定仿射球面是以双曲型和椭圆型混合交替的形式出现的。相关的结果在Asian J. Math上得到发表。在第四章中,我们通过解Beltrami方程,得到一个统一的变换公式,将Hildebrand的结论等温参数化。在等温参数化下,我们利用维尔斯特拉斯()函数,ζ函数和σ函数给出了Hildebrand的例子完全显式的表达式,并得到仿射度量和仿射3-形式的最简表示。最后,利用可积系统的特性,通过解标架方程,得到了Hildebrand的例子对应的关联仿射球面族。作为应用,通过分析仿射球面族,我们了解到一般情况下,R3中任意的正则凸锥总会有一个自然的凸锥S1-族,这个结果为将来我们进一步研究凸几何中的可积系统结构提供了依据。相关的结果在Acta Math. Sci. Ser. B Engl.Ed上得到发表。
【关键词】：仿射球面 dressing作用 等温参数化 Tzitzeica方程 半齐次锥
【学位授予单位】：中国科学院研究生院(武汉物理与数学研究所)
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.5
【目录】：

• 致谢4-5
• 摘要5-6
• Abstract6-9
• 1 引言9-17
• 1.1 背景介绍9-11
• 1.2 问题的提出11
• 1.3 论文的主要内容11-17
• 2 预备知识17-21
• 2.1 仿射微分几何基本定理以及仿射球面17-19
• 2.2 半齐次锥的分类19-21
• 3 恰当定仿射球面的dressing作用21-47
• 3.1 定仿射球面的环群描述21-25
• 3.2 Λ_I~(σ,Τ)GL(3,C)中的简单元25-34
• 3.3 简单元的dressing作用34-39
• 3.4 基本例子39-47
• 4 半齐次锥对应的完备双曲仿射球面族47-59
• 4.1 仿射球面的等温参数化47-54
• 4.2 仿射球面族54-57
• 4.3 结论的应用57-59
• 5 拟进一步研究的问题59-61
• 参考文献61-65
• 作者简历65
• 攻读博士学位期间发表的科研成果65-67
• 学位论文数据集67

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本文编号：380215