具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质

发布时间：2017-05-26 07:19

  本文关键词：具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：作为常微分算子理论的起源,Sturm-Liouville问题已经发展成为数学界和物理学界的一个非常重要的研究领域.众所周知,经典的Sturm-Liouville理论是量子力学中描述微观粒子状态的主要数学工具,在量子力学中,为了描述微观粒子之间的相互作用,Schr?dinger方程中的势函数可以为广义函数(例如,Diracδ函数),而此类问题超出了经典的Sturm-Liouville理论的研究范围.因此,研究具有分布势函数(势函数为广义函数)的Sturm-Liouville问题就显得尤为必要.本文主要研究具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质,全文分为五个部分,内容如下:第一章为绪论部分,叙述了问题的研究背景,研究现状以及本文的主要工作.第二章介绍了本文所涉及的基本概念以及相关性质.第三章讨论了有限区间上具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质,主要围绕自伴边界条件下的第n个特征值关于算子的依赖性问题以及特征函数的振荡性质展开讨论.首先,研究第n个特征值关于边界条件的连续性,以及第n个特征值关于算子系数的连续性和可微性.其次,讨论不同自伴边界条件下特征值之间的不等式关系,并由此分析特征函数的振荡性质.本章将构造一个经典Sturm-Liouville算子序列,使其在预解算子逼近的意义下收敛到具有分布势函数的Sturm-Liouville算子,从而得到该算子序列的特征值与具有分布势函数的算子特征值之间的关系.本文利用这一新的思路展开研究,推广了经典Sturm-Liouville算子的相关结果.此外,本章最后一节还将利用所得结果研究一类具有转移条件的Sturm-Liouville问题的谱性质.第四章主要研究具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的有限谱理论.首先,本章在减弱的算子系数条件下,对分离型边界条件下特征值的存在性以及特征函数的振荡性质进行研究.其次,对区间进行分割并且使得系数在每个子区间上满足一定的条件,从而构造具有有限多个特征值的Sturm-Liouville问题,并且分析不同边界条件下特征值之间的不等式关系.最后,探讨具有有限谱的Sturm-Liouville问题与矩阵特征值问题之间的关系.第五章主要考虑无穷区间上具有δ-作用(δ势函数)的Sturm-Liouville算子的谱性质.本章讨论了算子谱为纯离散的充分必要条件,以及不含δ-作用的Sturm-Liouville算子在δ-作用的扰动下本质谱的稳定性.为了研究此类算子的谱性质,本章构造了具有δ-作用的Sturm-Liouville算子所对应的二次型,证明了一系列嵌入不等式,进而讨论嵌入算子的紧性.所得结果将Molchanov离散谱判定准则推广至具有δ-作用的Sturm-Liouville算子.
【关键词】：Sturm-Liouville问题 Schr?dinger算子 特征值 特征函数 依赖性 转移条件 δ势函数 离散谱 有限谱 矩阵特征值问题
【学位授予单位】：天津大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.3
【目录】：

• 摘要4-6
• ABSTRACT6-10
• 第一章 绪论10-20
• 1.1 常微分算子理论简述10-11
• 1.2 具有分布势函数的Sturm-Liouville算子理论的发展11-16
• 1.2.1 具有 δ 势函数的Schr ?dinger算子的研究背景及现状12-14
• 1.2.2 具有一般分布势函数的Sturm-Liouville算子的研究背景及现状14-16
• 1.3 本文的主要工作16-20
• 第二章 算子理论的基本知识20-24
• 2.1 Hilbert空间上的线性算子20-22
• 2.2 Hilbert空间上的微分算子22-24
• 第三章 具有分布势函数的Sturm-Liouville算子的特征值问题24-65
• 3.1 基本结果与引理25-32
• 3.2 经典Sturm-Liouville算子与具有分布势函数的Sturm-Liouville算子之间的关系32-44
• 3.3 分离型边界条件下的第n个特征值关于参数 α, β 的依赖性44-47
• 3.4 不同边界条件下特征值之间的比较关系式47-50
• 3.5 λ_n关于自伴边界条件的依赖性50-56
• 3.6 特征函数的振荡性质56-58
• 3.7 λ_n关于算子系数的依赖性58-63
• 3.8 一类具有转移条件的Sturm-Liouville问题63-65
• 第四章 具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的有限谱理论65-95
• 4.1 基本结果与引理66-68
• 4.2 具有有限谱的Sturm-Liouville问题68-70
• 4.3 分离型边界条件下特征值的存在性以及特征函数的振荡性质70-76
• 4.4 不同边界条件下有限多个特征值之间的比较关系式76-82
• 4.5 具有有限谱的Sturm-Liouville问题的矩阵表示82-91
• 4.6 矩阵特征值问题的Sturm-Liouville问题表示91-95
• 第五章 无穷区间上具有 δ-作用的Sturm-Liouville算子的谱性质95-117
• 5.1 基本结果与引理96-99
• 5.2 算子H_(X,α,q)对应的二次型99-104
• 5.3 算子谱纯离散的判定条件104-110
• 5.4 算子本质谱稳定的条件: 情形I110-113
• 5.5 算子本质谱稳定的条件: 情形II113-117
• 总结与展望117-119
• 参考文献119-127
• 发表论文和参加科研情况说明127-128
• 符号说明128-130
• 致谢130-131

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