空间形式中毛细管超曲面的稳定性

发布时间：2017-06-05 11:11

  本文关键词：空间形式中毛细管超曲面的稳定性，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：此论文研究空间形式中毛细管超曲面的稳定性,以及闭超曲面的一些整体性质。论文的主要部分研究空间形式中毛细管超曲面的稳定性。给定带边黎曼流形(M,g),M中的紧致带边超曲面M称为是毛细管超曲面,如果M有常平均曲率且M与(?)M相交成常数夹角。毛细管超曲面M称为是稳定的,如果它是能量泛函的在任意容许保体积变分下的二阶极小点。在第3章中我们固定M为欧氏单位球体。通过分析欧氏单位球体上一类重要的共形变换作用在毛细管超曲面上的性质,我们证明了欧氏球体中有某种对称性的毛细管超曲面的不稳定性。在第4章中我们考虑M为欧氏空间中由多张超平面围成区域的情形。当这些超平面的法向量线性无关时,通过构造试验函数,我们证明了区域M中稳定紧致浸入毛细管超曲面在适当条件下必为标准球面的一部分。在第5章中,我们考虑带密度流形框架下毛细管超曲面的稳定性,把一些著名的稳定性结果推广到带密度流形上。论文还研究了闭超曲面的几个整体性质。在第6章中,考虑一类warped乘积流形M中的闭嵌入超曲面M,通过观察到M上椭圆点的存在性,我们去掉了Brendle-Eichmair[1]关于M的高阶平均曲率的Alexandrov型定理中的凸性条件。在第7章中,考虑双曲空间Hn+1和球面空间Sn+1中的闭凸超曲面M,通过对M做单位法向演化得到一族超曲面,然后分析这族超曲面在等周不等式的约束下的极限性态,我们得到了新的Alexandrov-Fenchel型不等式。
【关键词】：毛细管超曲面 稳定性 带密度流形 Alexandrov型定理 Alexandrov-Fenchel型不等式
【学位授予单位】：清华大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O186.11
【目录】：

• 摘要3-4
• Abstract4-7
• 主要符号对照表7-8
• 第1章 引言8-21
• 1.1 问题背景和主要结果8-20
• 1.1.1 具有球面边界的毛细管超曲面的稳定性9-10
• 1.1.2 具有平面边界的毛细管超曲面的稳定性10-11
• 1.1.3 带密度流形中毛细管超曲面的稳定性11-14
• 1.1.4 Warped乘积流形中的Alexandrov型定理14-17
• 1.1.5 空间形式中闭凸超曲面的Alexandrov-Fenchel型不等式17-20
• 1.2 结构安排与内容方法20-21
• 第2章 预备知识21-40
• 2.1 毛细管超曲面的定义及第一第二变分公式21-24
• 2.2 带密度流形上的基本公式24-25
• 2.3 带密度流形上毛细管超曲面的第一第二变分公式25-28
• 2.4 欧氏空间中旋转常平均曲率超曲面28-29
• 2.5 欧氏空间中单位球体上的共形变换29-30
• 2.6 空间形式的模型及其中的基本公式30-31
• 2.7 Warped乘积流形中闭超曲面的相关性质31-36
• 2.7.1 闭超曲面上椭圆点的存在性31-32
• 2.7.2 p_k函数的性质32-33
• 2.7.3 Minkowski型公式和Minkowski型不等式33-35
• 2.7.4 Heintze-Karcher型不等式35-36
• 2.8 空间形式中闭凸超曲面的相关性质36-40
• 2.8.1 k阶平均曲率36-37
• 2.8.2 Gauss-Bonnet曲率L_k37-38
• 2.8.3 单位法向流和Steiner公式38-40
• 第3章 具有球面边界的毛细管超曲面的稳定性40-49
• 3.1 稳定毛细管超曲面的例子40
• 3.2 毛细管超曲面的不稳定性40-46
• 3.3 其他应用和问题46-49
• 3.3.1 不稳定性的另一判则46-47
• 3.3.2 具有自由边界的极小子流形的质量中心47
• 3.3.3 R~(n+1)中的稳定浸入常平均曲率闭超曲面47-48
• 3.3.4 一个未解决问题48-49
• 第4章 具有平面边界的毛细管超曲面的稳定性49-60
• 4.1 超曲面与区域的棱不相交情形49-56
• 4.2 超曲面有自由边界情形56-57
• 4.3 区域边界为两平行超平面情形57-60
• 第5章 带密度流形上的毛细管超曲面的稳定性60-71
• 5.1 空间形式中测地球体中f -极小带自由边界超曲面的稳定性60-63
• 5.1.1 欧氏情形60-61
• 5.1.2 双曲和球面情形61-63
• 5.2 毛细管超曲面的不稳定性63-69
• 5.2.1 定理 1.8 的证明63-68
• 5.2.2 定理 1.9 的证明68-69
• 5.3 三维带密度流形中强稳定毛细管曲面上的拓扑限制69-71
• 第6章 Warped乘积流形中超曲面的Alexandrov型定理71-74
• 第7章 空间形式中闭凸超曲面的Alexandrov-Fenchel型不等式74-82
• 7.1 欧氏情形74
• 7.2 双曲情形I74-77
• 7.3 双曲情形II77-78
• 7.4 球面情形78-82
• 第8章 结论82-84
• 8.1 本论文的主要工作82
• 8.2 可进一步开展的研究工作82-84
• 参考文献84-90
• 致谢90-92
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果92-93

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本文编号：423583