广义变分不等式及拟均衡问题的外梯度投影算法研究

发布时间：2017-06-15 23:01

  本文关键词：广义变分不等式及拟均衡问题的外梯度投影算法研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：广义变分不等式问题是在实际应用中提炼出来的数学模型.对于广义变分不等式问题的研究,为大量实际问题的解决提供了强大的技术支持,例如机械学、优化理论、交通问题、经济平衡问题、弹性接触概率和数学的其他分支等实际问题.在本文中,针对实欧几里得空间和无限希尔伯特空间中的广义变分不等式问题,我们给出了几类新的外梯度投影算法.此外,我们还提出了另一个新的投影算法来解决拟均衡问题.本文的其余部分安排如下:第一章,我们介绍了有关变分不等式问题和广义变分不等式问题的一些基础背景知识,并简单总结了一些广义变分不等式问题的现有研究结果.第二章,给出了文章中相关的基本概念,例如投影算子的性质、单调集值算子的定义、伪单调集值算子和连续集值算子的定义.第三章,对实数域欧几里得空间内的广义变分不等式问题展开研究.我们把经典变分不等式研究过程中的一类外梯度投影算法推广到广义变分不等式问题中.针对给定的初始迭代点,我们首先证明了该算法所产生序列的扩张性质.然后证明了该广义变分不等式问题的解的存在性,可以通过算法所产生的无穷序列的某个性质等价的反映出来。最后,在合理假设条件下,证明了该算法是全局收敛的.第四章,针对伪单调广义变分不等式问题,我们给出了一类改进的两步外梯度投影算法.每次迭代需要两次投影,而且每次迭代可以产生不同的步长供选择.我们从几何的角度证明了所设计算法具有长迭代步,它保证了当前迭代点到解集的距离较上一迭代点有很大下降.在合理的假设条件下,我们证明了该算法的全局收敛性.进一步,如果投影算子满足给定的局部误差界,我们证明了算法的-线性收敛性.第五章,通过一类新的外梯度投影算法,我们研究了无限维希尔伯特空间中的广义变分不等式问题.对于给定的起始迭代点,我们证明了该算法的扩张性质,即下一迭代点到初始迭代点的距离较上一迭代点有大幅提高.并且证明了该广义变分不等式问题的解的存在性等价于算法所产生的无限点列的某个性质.最后,在合理假设条件下,算法的强收敛性质得到证明.第六章,我们把求解变分不等式问题的一类次梯度外梯度投影算法应用到广义变分不等式问题中.对于经典变分不等式问题的传统外梯度投影算法,如果可行集足够简单,那么投影可行集上的点很容易计算并且该算法非常有用;如果可行集是广义闭凸集,则投影算子会大大降低外梯度算法的效率.新提出的次梯度外梯度投影算法,把投影区域用一个特殊半空间来代替,大大提高了传统外梯度投影算法的效率.因为广义变分不等式问题是经典变分不等式问题的自然推广,这点促使我们把次梯度外梯度算法应用到广义变分不等式问题中.在合理的假设下,我们证明了该次梯度外梯度算法的全局收敛性.第七章,对于玩家的成本与决策取决于对手的决定的拟均衡问题,我们提出了另一类外梯度投影算法.在均衡函数伪单调和连续的前提下,我们证明了算法的延展性与全局收敛性.此外,我们进一步证明了所设算法产生的迭代点列收敛到解集中距离初始点最近的点.最后,数值试验证明了算法的有效性.
【关键词】：外梯度算法 变分不等式 集值函数 单调算子 上半连续函数 全局收敛性 拟均衡问题 广义均衡问题
【学位授予单位】：曲阜师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O224;O178
【目录】：

• 摘要3-5
• ABSTRACT5-10
• Chapter 1 Preface10-16
• 1.1 Variational inequalities10-12
• 1.2 Generalized variational inequalities12-16
• Chapter 2 Preliminaries16-19
• Chapter 3 A New Extra-Gradient Method for Generalized Varia-tional Inequality in Euclidean Space19-30
• 3.1 Algorithm19-21
• 3.2 Properties of the algorithm21-25
• 3.3 Convergence of the algorithm25-29
• 3.4 Final remark29-30
• Chapter 4 An Improved Two-Step Method for Generalized Vari-ational Inequalities30-43
• 4.1 Summary30
• 4.2 The two-step method30-31
• 4.3 Properties of the two-step algorithm31-36
• 4.4 Convergence of the method36-41
• 4.5 Discussion41-43
• Chapter 5 Strong Convergence of Extra-gradient Method for Gen-eralized Variational Inequalities in Hilbert Space43-54
• 5.1 Introduction43
• 5.2 The algorithm43-45
• 5.3 Properties of the algorithm45-49
• 5.4 Strong convergence of the algorithm49-54
• Chapter 6 The Sub-Gradient Extra-Gradient Method for Gener-alized Variational Inequalities54-60
• 6.1 Introduction54-55
• 6.2 The sub-gradient extra-gradient method55-58
• 6.3 Main results58-60
• Chapter 7 An Alternative Extra-Gradient Projection Method forQuasi-Equilibrium Problems60-77
• 7.1 Introduction60-63
• 7.2 Preliminaries and algorithm63-65
• 7.3 Convergence of the algorithm65-73
• 7.4 Numerical experiments73-75
• 7.5 Conclusions75-77
• Reference77-86
• Appdenix PAPERS FOR PH.D86-87
• Appdenix THANKS87

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