若干非线性系统中孤子问题的解析研究

发布时间：2017-06-18 14:24

  本文关键词：若干非线性系统中孤子问题的解析研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：孤子,作为非线性系统的一种解的形式,可用来描述Bose-Einstein凝聚、光纤通信、Heisenberg铁磁体、等离子体以及流体力学等领域的诸多非线性现象。对于不同系统中孤子问题的研究,需要借助于对非线性发展方程的研究。解析研究非线性发展方程的方法已经日趋成熟,如Lax对、反散射变换、Darboux变换、Hirota方法、Bell多项式技术以及Backlund变换等。基于这些方法,我们研究若干非线性发展方程的孤子解及可积性质,并分析孤子的传播和相互作用机理。本文的研究工作主要为：(1)研究了耦合变系数Gross-Pitaevski方程,该方程可用于描述双元Bose-Einstein凝聚中的动力学特征。基于Lax对,我们构造了方程的无穷守恒律。利用Bell多项式技术和Hirota方法,获得了方程的双元Bell多项式型和双线性型的Backlund变换,并给出了由平凡解迭代出单孤子解的过程。求得了方程的单双孤子解,通过图形分析了双孤子间追赶和迎面的弹性相互作用,以及形变非弹性相互作用。(2)研究了光纤通信领域中孤子的传输和相互作用特性。主要研究对象为耦合高阶变系数非线性Schrodinger方程,非均匀高阶非线性Schrodinger方程,以及带有三阶五阶效应的N耦合非线性Schrodinger方程。(a)对于耦合高阶变系数非线性Schrodinger方程,借助Lax对给出了该方程的无穷守恒律。图像分析了钟形的、周期变化的、二次变化的以及e指数增减的飞秒孤子的传播及相互作用性质。通过交换公式,推导了该方程的双线性Backlund变换。(b)采用引入规范变换和辅助函数技巧,获得了非均匀高阶非线性Schrodinger方程的双线性形式,进而求得了其非退化的孤子解。图像模拟了单峰的、双峰的以及平顶型的孤子轮廓。阐述了一个单峰孤子和一个双峰孤子间,以及两个双峰孤子间的相互作用过程。(c)通过修正的Darboux变换迭代方法,求得了带有三阶五阶效应的N耦合非线性Schrodinger方程的一阶和二阶怪波解的解析表达式,并分析了二阶怪波的两种不同形式。最后,我们从平面波解出发,对解进行了稳定性分析。(3)研究了Heisenberg铁磁体中扩展的高阶非线性Schrodinger方程。该方程的无穷守恒律被得到。通过引入辅助函数,获得了该方程的多孤子解。当相邻孤子具有相同的速度时,形成了明孤子束缚态形式。给出了束缚态速度和周期的表达式,分析了不同的孤子间距下,束缚态不同的表现形式。另外,分析了方程关于平面波解的调制不稳定性。(4)研究了非均匀等离子体领域中非均匀非线性Schrodinger方程。推导了其N孤子解以及Backlund变换,分析了双孤子和三孤子间的周期性吸引和排斥相互作用的性质,以及方程参数对孤子动力学特征的影响。(5)研究了离散的可积Ablowitz-Ladik方程。发现离散效应对孤子振幅和速度有影响,进而影响孤子的传播和弹性相互作用过程。(6)研究了高阶变系数Korteweg-de Vries方程的孤子聚变裂变现象。利用Bell多项式技术,推导了方程的Backlund变换、Lax对以及无穷守恒律。得到了方程的N孤子解,分析了双孤子间发生聚变裂变现象的条件及特征。分析了变系数对孤子聚变裂变的影响。(7)通过分别在Bell多项式中和Hirota方法中引入辅助变量技术,成功将Zhiber-Shabat方程和耦合Kadomtsev-Petviashvili-Schrodinger方程双线性化。(a)对Zhiber-Shabat方程,得到了钟形、倒钟形孤子解以及类呼吸子解,分析了两个倒钟形孤子间相互作用。(b)对耦合Kadomtsev-Petviashvili-Schrodinger方程,利用Painleve检测分析了其可积性。以方程的N孤子解为基础,图像分析了明孤子间、暗孤子间弹性相互作用过程。
【关键词】：非线性发展方程 孤子解 可积性 孤子相互作用
【学位授予单位】：北京邮电大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O415;O175.29
【目录】：

• 摘要5-8
• ABSTRACT8-16
• 第一章 绪论16-27
• 1.1 孤子理论和非线性模型16-17
• 1.2 研究方法17-22
• 1.3 研究模型和结构安排22-27
• 1.3.1 研究模型22-25
• 1.3.2 结构安排25-27
• 第二章 Bose-Einstein凝聚中耦合Gross-Pitaevskii方程的可积性及孤子研究27-38
• 2.1 耦合Gross-Pitaevskii方程27-28
• 2.2 耦合Gross-Pitaevskii方程的无穷守恒律28-30
• 2.3 耦合Gross-Pitaevskii方程的双线性化和Backlund变换30-33
• 2.3.1 双线性方程30-31
• 2.3.2 Backlund变换31-33
• 2.3.2.1 Bell多项式形式的Backlund变换31-32
• 2.3.2.2 双线性形式的Backlund变换32-33
• 2.4 耦合Gross-Pitaevskii方程的孤子解和孤子间相互作用33-37
• 2.4.1 单双孤子解33-35
• 2.4.2 弹性和非弹性碰撞35-37
• 2.5 本章小结37-38
• 第三章 光纤通信领域中的孤子研究38-67
• 3.1 耦合高阶变系数非线性Schrodinger方程的解析研究39-48
• 3.1.1 耦合高阶变系数非线性Schrodinger方程39-40
• 3.1.2 耦合高阶变系数非线性Schrodinger方程的守恒律40-42
• 3.1.3 耦合高阶变系数非线性Schrodinger方程的孤子解及分析42-47
• 3.1.4 耦合高阶变系数非线性Schrodinger方程的双线性Backlund变换·47-48
• 3.2 非均匀高阶非线性Schrodinger方程的解析研究48-56
• 3.2.1 非均匀高阶非线性Schrodinger方程48-49
• 3.2.2 线性形式49-50
• 3.2.3 孤子解50-54
• 3.2.4 孤子间相互作用54-56
• 3.3 带有三阶和五阶非线性项的N耦合广义非线性Schrodinger方程的向量怪波解研究56-65
• 3.3.1 带有三阶和五阶非线性项的N耦合广义非线性Schrodinger方程56-57
• 3.3.2 该方程的Lax对和Darboux变换57-60
• 3.3.3 向量怪波解及性质分析60-63
• 3.3.3.1 向量怪波解60-62
• 3.3.3.2 向量怪波解性质分析62-63
• 3.3.4 平面波解的稳定性分析63-65
• 3.4 本章小结65-67
• 第四章 Heisenberg铁磁体中的孤子研究67-76
• 4.1 扩展的高阶非线性Schrodinger方程67-68
• 4.2 扩展的高阶非线性Schrodinger方程的守恒律68-70
• 4.3 扩展的高阶非线性Schrodinger方程的孤子解及分析70-75
• 4.3.1 孤子解70-71
• 4.3.2 束缚态孤子分析71-73
• 4.3.2.1 束缚态的周期71-72
• 4.3.2.2 束缚态的孤子间距72-73
• 4.3.2.3 三孤子间的束缚态73
• 4.3.3 线性稳定性分析73-75
• 4.4 本章小结75-76
• 第五章 非均匀等离子体领域中的孤子解析研究76-83
• 5.1 非均匀非线性Schrodinger方程76
• 5.2 由Bell多项式推导的双线性方程和Backlund变换76-78
• 5.3 N孤子解及孤子间相互作用分析78-82
• 5.3.1 N孤子解78-79
• 5.3.2 孤子间相互作用分析79-82
• 5.4 本章小结82-83
• 第六章 离散的可积Ablowitz-Ladik方程的孤子解研究83-90
• 6.1 离散的可积Ablowitz-Ladik方程83-84
• 6.2 离散的可积Ablowitz-Ladik方程的N孤子解84-85
• 6.3 孤子间相互作用分析85-89
• 6.4 本章小结89-90
• 第七章 高阶变系数Korteweg-de Vries方程的孤子聚变裂变现象研究90-99
• 7.1 高阶变系数Korteweg-de Vries方程90-91
• 7.2 高阶变系数Korteweg-de Vries方程的孤子解及其性质91-96
• 7.2.1 高阶变系数Korteweg-de Vries方程的N孤子解91-93
• 7.2.2 孤子聚变裂变现象93-96
• 7.2.2.1 孤子聚变裂变的形成条件93-95
• 7.2.2.2 变系数影响下的孤子聚变裂变现象95-96
• 7.3 高阶变系数Korteweg-de Vries方程的Backlund变换和Lax对96-97
• 7.4 高阶变系数Korteweg-de Vries方程的守恒律97-98
• 7.5 本章小结98-99
• 第八章 基于引入辅助变量的非线性方程研究99-113
• 8.1 Zhiber-Shabat方程的孤子解研究99-102
• 8.1.1 Zhiber-Shabat方程99-100
• 8.1.2 Zhiber-Shabat方程的孤子解100-102
• 8.2 耦合Kadomtsev-Petviashvili-Schrodinger方程研究102-111
• 8.2.1 该方程的引出102-103
• 8.2.2 该方程的Painleve检测103-104
• 8.2.3 该方程的孤子解104-106
• 8.2.4 孤子相互作用分析106-111
• 8.3 本章小结111-113
• 第九章 总结与展望113-115
• 9.1 总结113-114
• 9.2 展望114-115
• 参考文献115-129
• 致谢129-131
• 攻读博士学位期间已发表和已完成的学术论文目录131-132

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