希尔伯特的积分方程理论

发布时间：2017-07-19 16:30

  本文关键词：希尔伯特的积分方程理论

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【摘要】：积分方程是一种重要的数学工具,它与数学中的许多分支之间有密切的联系,也有着非常广泛的应用。本文通过历史分析和文献考证的方法,以“为什么数学”为指导,在研读相关原始文献和研究文献的基础上,对希尔伯特的积分方程工作进行了较为深入细致的研究,挖掘了蕴含在希尔伯特积分方程工作中的深刻思想,着重探究了希尔伯特与其追随者们之间的思想传承。取得的主要成果如下：1.对弗雷德霍姆的积分方程理论进行了较为深入细致的研究,分析了弗雷德霍姆积分方程思想的来源,梳理了无穷维线性方程组的历史发展,考察了弗雷德霍姆建立其积分方程理论的视角和过程。2.详细研究了希尔伯特建立对称核积分方程的特征值理论的工作,梳理出了他建立该理论的思路,指出了他的理论所关注的问题,分析了他成功建立其理论的关键是广义主轴定理,考察了他建立这个定理的思路和过程,论述了这个定理在证明存在性问题和建立函数的展开定理方面的重要作用,并阐述他的工作中萌芽的希尔伯特空间的思想。3.深入细致地探讨了希尔伯特用无穷二次型语言建立的谱理论,也对谱理论在积分方程上的应用进行了详细的考察。分析了希尔伯特建立谱理论的思路和目的,指出了他如何对无穷二次型定义点谱和连续谱,又如何对有界无穷二次型建立谱分解,也指出了他引入的全连续概念的重要性。通过对谱理论在积分方程上的应用的研究分析,阐述了希尔伯特工作中蕴含的空间思想和算子理论的思想。4.详细考察了希尔伯特的追随者们在具体希尔伯特空间方面所做的贡献。对施密特早期简化希尔伯特建立其特征值理论的工作进行了详细的考察和分析,指出他的工作向希尔伯特空间迈近了一步。也对他建立希尔伯特序列空间并对该空间引入几何语言的工作进行了详细考察。对里斯运用勒贝格积分推广希尔伯特的工作时建立的里斯——费舍尔定理的相关工作进行了分析研究,有助于更好地理解其后来的工作。5.考察了希尔伯特的工作在抽象空间理论建立过程中产生的重大影响。里斯仿照勒贝格平方可积函数空间发现了具体的巴拿赫空间,随后他又引入范数代替内积来研究函数空间,给出了范数所要满足的三条公理,并且以希尔伯特的全连续概念为基础在具体空间上建立了紧算子理论。巴拿赫为了将积分方程理论一般化在完全抽象的环境中来建立了巴拿赫空间理论。应量子力学发展的需要和数学向着抽象性发展的趋势,冯.诺依曼用抽象语言重新表述和发展希尔伯特的理论的过程中建立了抽象希尔伯特空间理论。
【关键词】：希尔伯特 积分方程 希尔伯特空间 巴拿赫空间
【学位授予单位】：西北大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.5
【目录】：

• 摘要3-5
• Abstract5-9
• 引言9-17
• 第一章 弗雷德霍姆的积分方程理论17-39
• 1.1. 弗雷德霍姆积分方程思想的来源18-28
• 1.1.1. 沃尔泰拉的启发19-21
• 1.1.2. 得益于科克的成果21-28
• 1.2. 弗雷德霍姆的积分方程理论28-36
• 1.2.1. 定义“系数行列式”30-31
• 1.2.2. 讨论“系数矩阵的秩”31-33
• 1.2.3. 分两种情形处理方程33-36
• 1.3. 小结36-39
• 第二章 希尔伯特对积分方程的早期探索39-63
• 2.1. 希尔伯特的代数问题40-46
• 2.2. 定义特征值、特征函数46-50
• 2.3. 希尔伯特的特征值理论50-59
• 2.3.1. 建立广义主轴定理50-54
• 2.3.2. 证明存在性问题54-57
• 2.3.3. 建立函数的展开定理57-59
• 2.4. 微分方程上的应用59-63
• 第三章 希尔伯特的一般理论63-84
• 3.1. 希尔伯特的谱理论63-75
• 3.1.1. 有限维的情形64-67
• 3.1.2. 定义点谱、连续谱67-71
• 3.1.3. 有界无穷二次型的谱分解71-73
• 3.1.4. 全连续概念的引入73-75
• 3.2. 谱理论在积分方程上的应用75-81
• 3.3. 小结81-84
• 第四章 希尔伯特空间的诞生84-105
• 4.1. 希尔伯特序列空间的建立84-96
• 4.1.1. 施密特的早期工作85-92
• 4.1.2. 希尔伯特序列空间的诞生92-96
• 4.2. 里斯—费舍尔定理的建立96-103
• 4.2.1. 勒贝格积分的建立96-98
• 4.2.2. 里斯的相关工作98-100
• 4.2.3. 费舍尔的相关工作100-103
• 4.3. 小结103-105
• 第五章 抽象空间理论的建立105-137
• 5.1. L~p空间的发现106-113
• 5.2. 紧算子理论的建立113-116
• 5.2.1. 范数的引入113-114
• 5.2.2. 紧算子的定义114-115
• 5.2.3. 紧算子理论的建立115-116
• 5.3. 巴拿赫空间理论的开始116-125
• 5.4. 抽象希尔伯特空间理论的开始125-137
• 5.4.1. 抽象希尔伯特空间的定义125-130
• 5.4.2. 抽象希尔伯特空间上的算子130-137
• 结语137-139
• 参考文献139-147
• 攻读博士学位期间发表的学术论文和参加的学术活动147-148
• 致谢148

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前2条

1 李亚亚;王昌;;希尔伯特空间诞生探源[J];自然辩证法研究;2013年12期

2 李亚亚;王昌;;紧算子理论成因探析[J];自然辩证法研究;2014年12期

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本文编号：563820