带导数的非线性Schrodinger方程的拟周期解

发布时间：2017-07-30 18:11

  本文关键词：带导数的非线性Schrodinger方程的拟周期解

  更多相关文章： 无穷维Hamilton系统 KAM理论 带导数的非线性Schr(o|)dinger方程 拟周期解 不变环面

【摘要】：本文主要研究非线性Schrodinger方程.它在量子力学中有着广泛的应用.自无穷维KAM理论产生以来,作为一个Hamilton系统,人们渐渐开始利用KAM理论研究非线性Schrodinger方程有限维不变环面(对应于拟周期解)以及无穷维不变环面(对应于概周期解)的存在性.对于可积Hamilton系统而言,它的动力学行为是清楚明了的.然而,现实中可积系统少之又少,更多的是近可积系统.近可积Hamilton系统的动力学行为问题被Poincare称为“动力学基本问题”.上世纪五六十年代,三位国际著名数学家A.N. Kolmogorov[64], V.I. Arnold[1]和J.K. Moser[93]建立了经典KAM理论.因其重要的应用价值,KAM理论被视作20世纪最重要的数学成就之一.八十年代末九十年代初S.B. Kuksin[66][67][68][69], W. Craig和C.E. Wayne[29] [30]将有限维KAM理论推广应用至Hamilton型偏微分方程,发展出无穷维KAM理论.后来J. Poschel[105]重新整理加以描述成一个容易理解的无穷维KAM定理,并成功将其应用于Dirichlet边界条件下的非线性Schrodinger方程[70]和非线性波动方程[106].同时J. Bourgain[19][20]又将这一想法推广至一般的Hamilton偏微分方程.鉴于以上均在有界扰动情形下讨论,Poschel [59]通过引入广义正规形并利用Kuksin[71]求解变系数同调方程的引理,将有界扰动情形下的无穷维KAM定理推广至无界扰动的情形.然而仍有一大批重要的偏微分方程不能适用上面的定理,例如带导数的非线性波动方程,带导数的非线性Schrodinger方程等.最近,刘建军和袁小平[80]通过修改Kuksin的引理,得到了临界情形下的KAM定理(见[81]).进而刘建军和袁小平[81][82],张静,高美娜和袁小平[132]分别研究了几类带导数的非线性Schrodinger方程.这些方程中既有Hamilton系统也有反转系统.与Dirichlet边界条件不同,在周期边界条件下由于重特征值的出现,前面Poschel的KAM定理失效Chierchia和尤建功[27]最早用KAM方法解决了非线性波动方程在周期边界条件下拟周期解的存在性问题.事实上在他们的结果出现之前,Craig和Wayne[39]已经利用推广的Lyapunov-Schmidt分解和Frohlich, Spence技巧,证明了周期解的存在性.这种由Craig和Wayne29][30]发展并由Bourgain[15][18][19]改进的方法称为C-W-B方法.对于高维Hamilton偏微分方程,难度较大,进展也比较缓慢.最早Bourgain[18]研究了二维Schrodinger方程的小振幅拟周期解.这方面的主要进展参见Bour-gain耿建生和尤建功[43]Eliasson和Kuksin[33],耿建生,徐新东和尤建功[46],耿建生和尤建功[49],Eliasson, Grebert和Kuksin [34][35]等.在实际应用中,有三类著名的带导数的非线性Schrodinger方程：方程),方程),方程).2012年耿建生与吴健[48]在周期边界条件下研究了带导数的非线性Schrodinger方程并得到了具有2个频率的实解析拟周期解.同时刘建军和袁小平[82]在周期边界条件下研究了并得到了具有N个频率的光滑拟周期解.需要说明的是,因采取了两种完全不同的策略.以上两个结果才会有差别.耿建生与吴健通过引入“紧性形式”和“不变性质”.将变系数的同调方程变为常系数,然后利用KAM迭代得到了实解析的拟周期解.而刘建军和袁小平利用修改的求解变系数同调方程的引理并同时假设扰动满足特殊形式,通过KAM迭代得到了光滑的拟周期解.特别需要指出的是,由于“紧性形式”和“不变性质”的限制使得耿建生与吴健所得拟周期解的频率仅为两个,而刘建军和袁小平的结果允许频率的个数是任意整数.本文首先利用耿建生与吴健[48]的方法在周期边界条件下研究了第二类带导数的非线性Schrodinger方程Chen-Liu-Lee方程通过利用“紧性形式”和“不变性质”我们得到了具有两个频率的实解析拟周期解.当扰动项具有拟周期强迫时,相应的系统是非自治系统.对于具有周期强迫的完全共振波动方程的周期解首先由Rabinowitz利用整体变分方法和Lyapunov-Schmidt分解得到.后来Berti和Procesi[11]将Lyapunov-Schmidt分解和Nash-Moser迭代结合起来研究了带周期强迫的完全共振波动方程具有两个频率的拟周期解的存在性.再后来焦蕾和王奕倩[54]用Birkhoff标准形和KAM迭代方法证明了拟周期强迫下的非线性Schrodinger方程拟周期解的存在性.近些年,张敏和司建国[133],司建国[118]分别研究了具有拟周期强迫的非线性波动方程在Dirichlet边界条件下和周期边界条件下拟周期解的存在性.王怡和司建国[119],芮杰和司建国[109]分别研究了具有拟周期强迫的非线性梁方程和非线性Schrodinger方程拟周期解的存在性.需要注意的是以上讨论均是在有界扰动的情形下.当扰动无界时,特别是临界情形,即使对于自治系统也是比较困难的.当扰动是具有拟周期强迫的无界扰动时,这方面的结果非常少.弭鲁芳与张康康[89]利用KAM方法研究了具有拟周期扰动的Benjamin-Ono方程,Baldi, Berti和Montalto[7]将Nash-Moser迭代和KAM迭代结合起来研究了具有拟线性扰动的线性Airy方程.利用同样的方法,R. Feola和M. Procesi[39]研究了完全非线性反转Schrodinger方程.论文中作者研究了具有拟周期强迫的带导数的非线性Schrodinger方程在满足周期边界条件的不变环面的存在性.这里B为正常数,g是实解析函数,关于时间变量t拟周期,频率向量为β=(β1,β2,…,βm).我们的方法基于Birkhoff正规形理论和KAM迭代.需要说明的是,在周期边界条件下,由于特征值是二重的,因此不能使用Poschel[59]关于无界扰动的无穷维KAM定理.我们沿着刘建军和袁小平[81][82]的思路,考虑广义正规形,同时还假设扰动满足类似的特殊形式：扰动项P(φ,q,q)仅包含单项式这里然后利用求解变系数同调方程的引理,证明了不变环面的存在性.论文中我们分别在两种情形下讨论了该问题：(1)β为任意实数向量；(2)β与指定频率β“共线”(co-linear)即β=入β∈Rm,λ∈[1/2,3/2].对于第一种情形我们利用修改的满足特殊形式的刘建军和袁小平[82]的KAM定理得到了具有任意正整数个频率的光滑拟周期解.而对于第二种情形,由于强迫项的频率是“固定”的,我们没有足够多的参数,因此文献[81][82]中关于参数集测度估计的方法并不适用.通过采用不同的测度估计方法,我们得到了具有任意正整数个频率的光滑拟周期解.本论文共分为五章,主要内容如下：第一章我们给出Hamilton系统和KAM理论的相关知识.这一章又包括以下四节.第一节介绍有限维Hamilton系统理论,包含Hamilton向量场及变换理论,可积Hamilton系统和Birkhoff正规形.第二节主要介绍经典KAM理论.第三节简单介绍了Hamilton系统扰动理论的三个主要研究方向：经典稳定性(Classical stability),几何稳定性(Geometric stability)和不稳定性(Instability).最后一节详细叙述了无穷维KAM理论及其应用于Hamilton型偏微分方程的研究现状,特别是非线性波动方程和非线性Schrodinger方程.第二章我们罗列了一些在KAM理论应用中常用的定义与结论,如拟周期函数.实解析函数Cauchy估计等等.第三章我们利用耿建生与吴健[48]方法在周期边界条件下研究了Chen-Liu-Lee方程利用“紧性形式”和“不变性质”我们得到了具有两个频率的实解析拟周期解.第四章与第五章研究了具有拟周期强迫的带导数的非线性Schrodinger方程在周期边界条件下不变环面的存在性.第四章在β为任意实数向量的情形下讨论该问题.而第五章在β与指定频率β“共线”的情形下讨论该问题.
【关键词】：无穷维Hamilton系统 KAM理论 带导数的非线性Schr(o|")dinger方程 拟周期解 不变环面
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 中文摘要8-12
• 英文摘要12-17
• 符号说明17-18
• 第一章 Hamilton系统与KAM理论18-50
• §1.1 Hamilton系统18-28
• §1.1.1 Hamilton系统及变换理论18-24
• §1.1.2 可积Hamilton系统24-27
• §1.1.3 Birkhoff正规形27-28
• §1.2 经典KAM理论28-32
• §1.3 Hamilton系统扰动理论32-34
• §1.3.1 Nekhoroshev理论32-33
• §1.3.2 Aubry-Mather理论33
• §1.3.3 Arnold扩散33-34
• §1.4 无穷维Hamilton系统的KAM理论34-50
• §1.4.1 有限维Hamilton系统低维环面的存在性34-36
• §1.4.2 无穷维KAM理论36-40
• §1.4.3 Hamilton型偏微分方程的研究现状40-50
• 第二章 预备知识50-54
• §2.1 拟周期函数与实解析函数50-51
• §2.2 技术性引理51-54
• 第三章 带导数的非线性Schrodinger方程的拟周期解和周期解54-88
• §3.1 预备知识55-57
• §3.2 Hamilton形式与部分Birkhoff正规形57-65
• §3.3 一些条件65-69
• §3.4 KAM迭代69-84
• §3.5 带导数的非线性Schrodinger方程的周期解84-88
• 第四章 具有拟周期强迫的带导数非线性Schrodinger方程的不变环面(一)88-116
• §4.1 预备知识89-90
• §4.2 Hamilton形式与部分Birkhoff正规形90-101
• §4.3 抽象的无穷维KAM定理101-104
• §4.4 定理3.1的证明104-109
• §4.5 定理1.1的证明109-113
• §4.6 附录113-116
• 第五章 具有拟周期强迫的带导数非线性Schrodinger方程的不变环面(二)116-150
• §5.1 Hamilton形式与部分Birkhoff正规形117-120
• §5.2 一些性质120-123
• §5.3 KAM迭代123-139
• §5.4 迭代引理及收敛性139-150
• 参考文献150-162
• 致谢162-164
• 读博期间发表和完成的论文164-165
• 学位论文评阅及答辩情况表165

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本文编号：595496