几类时滞偏微分方程解的渐近行为研究

发布时间：2017-08-17 05:21

  本文关键词：几类时滞偏微分方程解的渐近行为研究

  更多相关文章： 时滞 非经典反应扩散方程 p-Laplacian方程 弱耗散波方程 临界增长 任意次多项式增长 拉回D 吸引子

【摘要】：本篇博士论文主要研究如下三类带有时滞项的发展方程解的渐近行为:(1)带有时滞项的非经典反应扩散方程?tu-?t?u-?u=f(u)+g(t,ut)+k(t)in?×[τ,∞),u(x,t)=0 on??×[τ,∞),u(x,τ+θ)=?(x,θ),x∈?,θ∈[-h,0];(2)带有时滞项的p-Laplacian方程?tu-div(|?u|p-2?u)=f(u)+g(t,ut)+k(t)in?×(τ,∞),u(x,t)=0 on??×(τ,∞),u(x,τ+θ)=?(x,θ)x∈?,θ∈[-h,0];(3)带有时滞项的弱耗散波方程?ttu+η?tu-?u=f(u)+g(t,ut)+k(t)in?×[τ,∞),u(x,t)=0 on??×[τ,∞),u(x,t)=?(x,t-τ),x∈?,t∈[τ-h,τ],?tu(x,t)=?t?(x,t-τ),x∈?,t∈[τ-h,τ];其中τ∈R,常数η0,g是作用在带有某种遗传特征的解上的算子,k(·)是依赖于时间的外力项,?是区间[τ-h,τ]上的函数,h(0)是时滞影响的长度,且对任给的t≥τ,我们用ut表示定义在[-h,0]上,满足ut(θ)=u(t+θ)(其中θ∈[-h,0])的函数.本文的主要工作是对上述三类带有时滞项的发展方程在非线性项f满足临界或某种超临界增长时建立拉回吸引子的存在性.论文共分为六章:在第三章,我们对带有时滞项的非经典反应扩散方程拉回吸引子的存在性问题作了系统的讨论.非经典反应扩散方程可以说是介于抛物方程和波方程之间的一类特殊方程,如果对这类方程加上扰动系数,则可以把抛物方程和波方程联系起来,从而研究其动力学行为有着特殊的意义.在这一章,我们考虑非线性项f满足临界增长和任意p-1(p≥2)次多项式增长两种情形.当f满足临界增长时,我们通过设计特殊的分解来克服临界指数和时滞项g(t,ut)所带来的困难,得到过程{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)上的渐近紧性;当f为任意p-1(p≥2)次多项式增长时,我们首先运用Faedo Galerkin方法证明解的存在唯一性,然后构造具体的能量不等式来验证过程{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)上的紧性,从而得到{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)上拉回吸引子的存在性.在第四章,我们考虑带有时滞项的p-Laplacian方程,其中非线性项f满足任意p-1(p≥2)次多项式增长.p-Laplacian方程为一类强耗散抛物方程,其主部算子为拟线性.由于时滞项g(t,ut)的非自治固有性,以及非自治外力项k(·)的时间相关性,使得许多对于半线性抛物方程适用的方法、技巧不能再直接应用,从而我们在研究该问题,尤其是在验证其解过程{U(t,τ)}t≥τ的紧性时遇到较大的困难.在这一章,我们首先建立解的适定性,然后通过构造特殊的能量泛函来验证相应过程{U(t,τ)}t≥τ在CL2(?)上的紧性,从而得到{U(t,τ)}t≥τ在CL2(?)上拉回吸引子的存在性.在第五章,我们研究带有时滞项的弱耗散波方程,其中非线性项f满足临界增长.弱耗散波方程,尤其是带有临界非线性项的弱耗散波方程是一类典型的弱耗散方程,无穷维动力系统理论、方法发展过程中许多经典的工作都是将其作为研究对象来提出的,我们研究其动力学行为同样具有重要的意义.在这一章,我们通过构造能量泛函并结合收缩函数方法的思想证明过程{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)×CL2(?)上的紧性,从而得到{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)×CL2(?)上拉回吸引子的存在性.最后,在第六章,基于所取得的研究成果,作为对所研究问题后续发展的思考,我们列出部分我们将进一步研究的问题.
【关键词】：时滞 非经典反应扩散方程 p-Laplacian方程 弱耗散波方程 临界增长 任意次多项式增长 拉回D 吸引子
【学位授予单位】：兰州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.2
【目录】：

• 中文摘要3-5
• Abstract5-10
• 第一章 综述10-18
• 1.1 无穷维动力系统的发展简述10-11
• 1.2 已有结果、进展以及本文的工作11-15
• 1.3 文章安排15-18
• 第二章 预备知识18-24
• 2.1 函数空间和概念18-19
• 2.2 拉回D 吸引子19-21
• 2.3 一些有用的结果21-22
• 2.4 一些不等式22-24
• 第三章 带有时滞项的非经典反应扩散方程拉回吸引子的存在性24-48
• 3.1 临界情形24-36
• 3.1.1 解的存在性和唯一性25-26
• 3.1.2 拉回吸引子26-36
• 3.2 任意次多项式增长情形36-48
• 3.2.1 解的存在性与唯一性36-42
• 3.2.2 拉回吸引子42-48
• 第四章 带有时滞项的p-Laplacian方程拉回吸引子的存在性48-60
• 4.1 弱解的存在性和唯一性49-54
• 4.2 拉回吸收集和拉回吸引子54-60
• 4.2.1 拉回吸收集54-56
• 4.2.2 拉回吸引子56-60
• 第五章 带有时滞项的弱耗散波方程拉回吸引子的存在性60-76
• 5.1 解的存在性和唯一性61-62
• 5.2 拉回吸收集和拉回吸引子62-76
• 5.2.1 拉回吸收集62-66
• 5.2.2 拉回吸引子66-76
• 第六章 展望76-78
• 参考文献78-84
• 在学期间的研究成果84-86
• 致谢86

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本文编号：687315