波在无界波导中传播的高精度快速计算

发布时间：2017-09-01 08:10

  本文关键词：波在无界波导中传播的高精度快速计算

  更多相关文章： Helmholtz方程 完美匹配层 传播计算 算子步进方法 局部基变换 共轭算子 弯曲界面 局部正交坐标变换

【摘要】：在光学、声学、地震学等诸多应用领域内,经常需要快速精确地求解波的传播问题。波导沿着波传播方向的纵向尺度通常很大,横向的尺度远小于纵向但仍然远大于波的波长。标准的数值方法,如有限元法或有限差分法等,会产生一个规模很大的线性方程组,这将占用大量的内存,且计算效率不高。对于横向有界的波导结构,很多学者已经对波在变折射率光波导或变波数声波导中的传播计算进行了研究并提出了行之有效的数值方法。比如适用于缓变平板波导的光束传播法、用于计算近轴传播问题的算子方法、基于DtN(Dirichlet-to-Neumann)映射的步进方法。对于横向无界的波导,通过完美匹配层(PML),横向可以被截断为一个很小的区域。于是,传播问题的求解区域只有纵向的尺度比较大。对于这种结构,通过DtN映射,可以将原先的边值问题转化为初值问题,然后再用步进算法快速的求解这个初值问题,这就是算子步进方法(Operator marching method)。在算子步进方法中,每一次步进都需要进行一次与特征模相关的局部基变换。对于有界区域上的问题,由于横向算子是自伴的,特征模构成一组完备正交基,局部基变换可以很容易的完成。但是对于无界问题,由于PML的引入,原来的实系数Helmholtz方程变为一个复系数的偏微分方程,横向算子不再是自伴的。此时,特征模不再是正交的,这给局部基变换带来了困难。尽管用于处理损耗波导传播问题的共轭算子法在理论上可以用于局部基变换,但本文的研究表明,通过这种方法进行局部基变换将给传播计算带来难以接受的误差。通过对横向算子的深入研究,本文提出了一个新的局部基变换技术,并研究了它和共轭算子法之间的关系。理论推导表明,如果将横向算子在无穷网格上进行离散,新的基变换方法和共轭算子法是等价的。但是,数值模拟结果表明,新的局部基变换技术远远优于共轭算子法,精度和稳定性都得到了显著的提高。通过新的局部基变换,我们得到了Helmholtz方程在变折射率介质中的高精度解。除此之外,本文还研究了波在带有弯曲界面的无界波导中的传播计算。在这种波导结构中,要使用大步长的算子步进方法进行传播计算,首先要化简求解区域。本文采用局部正交坐标变换将弯曲界面拉平,然后用结合了新的局部基变换技术的算子步进方法进行传播计算。
【关键词】：Helmholtz方程 完美匹配层 传播计算 算子步进方法 局部基变换 共轭算子 弯曲界面 局部正交坐标变换
【学位授予单位】：浙江大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 摘要6-8
• Abstract8-15
• 第一章 引言15-27
• 1.1 研究背景15-17
• 1.2 数学模型17-20
• 1.3 人工边界条件和完美匹配层20-23
• 1.4 本文的内容概要23-27
• 第二章 传播问题和特征值问题27-43
• 2.1 特征问题及其求解27-28
• 2.2 特征值问题的数值解法28-35
• 2.2.1 有限差分法29-30
• 2.2.2 有限元法30-31
• 2.2.3 谱方法31-33
• 2.2.4 数值算例33-35
• 2.3 传播问题及其数值解35-41
• 2.3.1 特征模展开35-36
• 2.3.2 光束传播法36-37
• 2.3.3 向光束传播法37-38
• 2.3.4 算子步进方法38-41
• 2.4 小结41-43
• 第三章 算子步进方法中的基变换43-71
• 3.1 基于共轭算子的局部基变换44-58
• 3.1.1 横向算子及其伴随算子44-51
• 3.1.2 共轭算子法51-52
• 3.1.3 共轭算子法在有界传播问题中的应用52-56
• 3.1.4 共轭算子法处理无界问题时遇到困难56-58
• 3.2 基于算子离散矩阵共轭转置的局部基变换58-62
• 3.2.1 共轭转置矩阵法59-60
• 3.2.2 与共轭算子法之间的联系60-62
• 3.3 数值结果和讨论62-69
• 3.3.1 有界问题的等价性验证62-64
• 3.3.2 无界问题时两种方法的比较64-67
• 3.3.3 用两种基坐标变换进行传播计算的比较67-68
• 3.3.4 波在渐变折射率介质中的传播68-69
• 3.4 小结69-71
• 第四章 带有弯曲界面的传播问题71-89
• 4.1 基本问题71-73
• 4.2 局部正交坐标变换73-77
• 4.2.1 坐标变换73-75
• 4.2.2 方程变换75-77
• 4.2.3 用PML截断后的无界问题77
• 4.3 共轭算子的推导77-83
• 4.3.1 有界问题特征算子的自伴性78-81
• 4.3.2 被PML截断的无界问题81-83
• 4.4 数值算例83-88
• 4.4.1 正确性验证83-85
• 4.4.2 例一85-87
• 4.4.3 例二87-88
• 4.5 小结88-89
• 第五章 总结与展望89-93
• 5.1 总结89-90
• 5.2 展望90-93
• 参考文献93-103
• 附录：坐标变换后的系数和其它参数103-106
• 完成文章目录106-107
• 简历107-108
• 致谢108

【参考文献】

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本文编号：770921