自相似集的Lipschitz等价和高维Frobenius问题

发布时间：2017-09-08 04:10

  本文关键词：自相似集的Lipschitz等价和高维Frobenius问题

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【摘要】：自相似集的Lipschitz等价问题,是几何测度论和分形几何中的重要问题。此问题肇始于著名数学家K. Falconer[7,8], G. David和S. Semmes[3]在20世纪90年代的系列工作。在最近十年,这方面的研究十分活跃,取得了很多重要进展。本论文研究的核心问题是强分离自相似集的Lipschitz等价性(又称Falconer-Marsh问题)。在这个问题上,已经积累了许多方法和技巧,如代数不变量[8],双Lipschitz函数的保测性[25],可匹配条件[15]和环方法[28].我们的第一个工作是,引入并研究了高维Frobenius问题。经典的Frobenius问题是研究给定m个互素的正整数α1,….,αm,找出不能表示成α1,….,αm的非负整线性组合的最大整数,显然,这取决于半群α1N+…+αmN的结构。我们把α1,…,αm换成Rs中的整向量X1,…,Xm(但要求它们位于某个半空间中),研究半群X1N+…+XmN的结构。首先,我们提出饱和锥的概念,证明了其存在性,并给出了高维Frobenius问题的表述；其次,我们引入了方向增长函数,在X1…,Xm共面时,我们利用条件熵给出方向增长函数的计算公式；最后,在共面条件下,我们证明了下述“刚性”结果：X1…,Xm可由方向增长函数唯一确定。我们的第二个工作是把上述研究应用于自相似集Lipschitz等价的研究。对于每个自相似集,我们可以联系一个高维Frobenius问题,从而联系了一个方向增长函数。首先,我们证明方向增长函数是一个Lipschitz不变量；其次,利用前述的“刚性”结果,在共面条件下,我们解决了Falconer-Marsh问题。我们猜测,在一般情形下,方向增长函数仍将会是一个重要的Lipschitz不变量,它的计算和刚性问题,是困难而重要的问题。此外,本论文还研究了一类自仿分形集的拓扑结构。
【关键词】：自相似集 Lipschitz等价 高维Frobenius问题 饱和锥 方向增长函数
【学位授予单位】：华中师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O189
【目录】：

• 内容摘要5-6
• Abstract6-10
• 第一章 引言10-22
• 第二章 自相似集的Lipschitz等价研究的最新进展22-26
• 2.1 强分离自相似集之间的Lipschitz等价23-25
• 2.2 具有粘连结构的自相似集之间的Lipschitz等价性及其他25-26
• 第三章 强分离自相似集的Lipschitz等价性的方法和技巧26-36
• 3.1 自相似集的双Lipschitz等价的代数不变量26-27
• 3.2 保测性质27-28
• 3.3 伪基和距离函数28-30
• 3.4 可匹配条件30
• 3.5 [15]中的结果30-33
• 3.6 [28]中的技巧与结果33-36
• 第四章 Higher dimensional Frobenius problem：Maximal saturatedcone,growth function and rigidity36-72
• 4.1 Introduction36-44
• 4.1.1 Maximal saturated cone38-39
• 4.1.2 Multiplicity of representations and directional growth function39-41
• 4.1.3 Calculation of γ(θ) when X_1,…,X_m are coplanar41-42
• 4.1.4 Rigidity results42-43
• 4.1.5 Relation to the Lipschitz equivalence of Cantor sets43-44
• 4.2 Maximal saturated cones44-46
• 4.3 Variation of multiplicity function46-51
• 4.4 Existence of directional growth51-53
• 4.5 Principle of Maximal entropy under linear constraints53-58
• 4.6 Formula of γ(θ)in the coplanar case58-61
• 4.7 Rigidity(Ⅰ):Proof of Theorem 4.561-65
• 4.8 Rigidity(Ⅱ):Proof of Theorem 4.665-72
• 4.8.1 Standard solution66-67
• 4.8.2 H_η and H_(η') are parallel when s=267-69
• 4.8.3 Proof of Theorem 4.669-72
• 第五章 Higher dimensional Probenius problem and Lipschitz equiv-alence of Cantor sets72-90
• 5.1 introduction72-77
• 5.2 Lipschitz invariants77-78
• 5.3 Higher dimensional Frobenius Problem78-79
• 5.4 Multiplicity79-81
• 5.4.1 Directional growth function80
• 5.4.2 Rigidity results80-81
• 5.5 Proof of Theorem 5.4(ⅱ)81-88
• 5.5.1 Cut sets82-83
• 5.5.2 Matchable condition83-84
• 5.5.3 Proof of Theorem 5.4(ⅱ)84-88
• 5.6 Proof of Theorem 5.6 and Example 5.788-90
• 5.6.1 Proof of Theorem 5.688-89
• 5.6.2 Proof of Example 5.789-90
• 第六章 一类自仿分形集的拓扑结构90-98
• 参考文献98-103
• 研究生期间论文发表情况103-104
• 致谢104

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前2条

1 ;Sliding of self-similar sets[J];Science in China(Series A:Mathematics);2007年03期

2 奚李峰;阮火军;;强分离条件下自相似集的Lipschitz等价[J];数学学报;2008年03期

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本文编号：811792