Moran测度的谱性

发布时间：2017-09-19 04:08

  本文关键词：Moran测度的谱性

  更多相关文章： 相容对 卷积 无穷Bernoulli卷积 Moran测度 指数型规范正交基 Ramsey定理 自相似测度 谱测度 谱 一致可允许的

【摘要】：在本学位论文中,我们考虑的问题是：具有紧支撑的Borel概率测度μ所确定的Hilbert空间L2(μ)何时存在指数型规范正交基E(Λ)={e2πi(λ,x):λ∈Λ}若存在,我们称μ为谱测度,并称Λ为μ的谱.谱测度被广泛关注起源于B.Fuglede在1974年提出的谱集猜想.如今谱测度问题已成为测度上Fourier分析的中心问题之一.它在研究测度上的Fourier分析,小波分析,调和与非调和分析等方面都有重要意义.本学位论文主要研究Moran测度的谱性。通过引入数论,组合数学等方面的知识和技巧,我们给出了一些构造谱的新方法和新技巧.这些方法和技巧在谱测度问题、谱结构问题和谱级数收敛性问题等方面的研究中都会起到重要作用。这已在我们的后续研究工作中得到了体现。全文主要内容分为四章：在第三章中,我们考虑具有连续型数字集的Moran测度μ{bk},{Dk}确切的说,这里的数字集是Dk={0,1,…,gk-1}我们得到如下结果,只有当qk|bk成立时,相容对才存在.并且,当相容对存在时,Moran测度μ{bk},{Dk}是谱测度.该结果发表在J.Funct.Anal上.在第四章中,我们考虑的是比较一般的Moran测度μb,{Dk}该测度由数字集序列{Dk}k=1∞和公共压缩比1/b生成.假设存在公共的正整数字集C使得{(b-1Dk,C)}k=1∞构成相容对列.我们通过分析μb,{Dk}零点的b进制展式,给出了μb,{Dk}是谱测度的一个充分条件.最后举例说明该充分条件不可改进.这部分内容收到Adv.Math的修改意见,建议经过小修改后接收.在第五章中,我们研究在分形与概率论中非常重要的一类Moran测度——无穷Bernoulli卷积μp-1,{Dk),其中数字集仇含有两个元素.我们首先给出了μp-1,{Dk}有无穷指数型正交集的一个充要条件.然后,刻画了极大正交集的结构,并给出了其成为谱的一个充分条件.通过几个例子说明,所给条件是不可改进的.此外,我们证明了ρ-1∈2N不能保证该测度的谱性,这与Bernoulli卷积μp-1,{0,1}有很大不同.这部分内容也即将发表在J.Funct. Anal.上(网上已可看到).在第六章中,我们主要考虑平面上Sierpinski测度的谱结构问题.这是一类经典的自相似谱测度.我们首先完整地刻画了其上所有极大正交集的结构,以及其何时能够成为谱或者非谱的条件.然后解决了其上谱特征矩阵问题.值得指出的是,在一维,即使是最简单的谱测度,其上的谱特征值问题仍未完全解决.
【关键词】：相容对 卷积 无穷Bernoulli卷积 Moran测度 指数型规范正交基 Ramsey定理 自相似测度 谱测度 谱 一致可允许的
【学位授予单位】：华中师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O177.2
【目录】：

• 摘要5-6
• Abstract6-9
• 第一章 引言9-14
• 1.1 研究问题及研究背景9-11
• 1.2 主要工作及论文安排11-14
• 第二章 预备知识14-26
• 2.1 相关知识及工具14-17
• 2.2 谱测度17-20
• 2.3 自相似谱测度20-26
• 第三章 具有连续型数字集的Moran谱测度26-37
• 3.1 引言26-28
• 3.2 谱的构造与证明28-36
• 3.3 未解决的问题36-37
• 第四章 具有公共相容对的Moran谱测度37-50
• 4.1 引言37-39
• 4.2 谱性的证明39-50
• 4.2.1 情形1：Z_(b,ε)∩∪_(κ=1)~∞C_κ'=(?)40-43
• 4.2.2 情形2：Z_(b,ε)∩∪_(κ=1)~∞C_κ'=(?)43-47
• 4.2.3 主要结果的证明47-50
• 第五章 无穷Bernoulli测度的谱性50-68
• 5.1 准备知识50-54
• 5.2 无理压缩比的无穷Bernoulli测度54-56
• 5.3 具有非整有理压缩比的无穷Bernoulli测度56-62
• 5.4 无穷Bernoulli谱测度的充分条件62-68
• 第六章 平面上的Sierpinski测度的谱问题68-90
• 6.1 引言68-69
• 6.2 极大正交集和谱69-77
• 6.3 谱特征矩阵77-90
• 参考文献90-95
• 研究生期间已发表和待发表的论文95-96
• 致谢96

【参考文献】

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1 丰德军,文志英,吴军;Some dimensional results for homogeneous Moran sets[J];Science in China,Ser.A;1997年05期

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本文编号：879394