致密性定理证明其它实数连续性基本定理

  本文关键词：宿州学院学报，由笔耕文化传播整理发布。

第１８卷第３期

２Ｏ０

河南教育学院学报（自然科学版）

ＪｏｕｎｌａｌｏｆＨｅｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆ

Ｖ０１．１８Ｎｏ．３Ｓｅｐ．２００９

９年９月

Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

ｄｏｉ：ｌＯ．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—０８３４．２００９．０３．００ｌ

致密性定理证明其它实数连续性基本定理

彭培让

（河南教育学院数学系，河南郑州４５００４６）

摘要：用致密性定理统一证明其它实数连续性基本定理．关键词：致密性定理；实数连续性；基本定理中图分类号：０１７４．１

文献标识码：Ａ

文章编号：１００７一０８３４（２００９）０３一ｏｏＯｌ一０２

实数连续性基本定理常见的有：致密性定理，确

＝卢＞卢一ｇｊ存在充分大的后。∈ｚ＋，使得口‰＞ＪＢ一占，而［ｎ。｜０，６。１０］中含有Ａ中的点记为‰ｊｊ善。∈Ａ，使得茗。＞卢一ｓ．依定义，卢为Ａ的上确界．同理可证Ａ非

空有下界的情形．

２单调有界定理的证明

界存在定理，单调有界定理，闭区间套定理。有限覆盖定理，聚点定理，柯西收敛准则。上、下极限定理¨。１．这些定理是极限理论乃至整个数学分析理论的基础．本文按“一证多”的方案，用致密性定理（有界数列必有收敛子数列）统一证明其它实数连

续性基本定理．

定理２单调增加（减少）有上（下）界的数列

必收敛．

证明

１确界存在定理的证明

定理１非空有上（下）界数集Ａ必有上（下）确界．

证明

Ａ非空有上界ｊｊ口ＥＡ，６∈Ｒ使得Ａ

ｎ

设｛茗。｝是单调增加有上界的数列ｊ

｛石。｝有界．由致密性定理ｊ存在｛算。｝的子数列｛茗。。｝

收敛，记ｊｉｍ菇。。＝卢ｊ存在充分大的Ｊ｜｝。∈ｚ＋，使得

工。。＞卢一占，取』、ｒ＝ｎ”再虑及｛聋。｝单调增加ｊＶｎ＞Ⅳ，有ＪＢ—Ｆ＜菇。＜ＪＢ＋占．即｛并。｝收敛于ｐ．

３闭区间套定理的证明

［口，６］≠咖．将［ｏ，６］等分为两个闭区间ｆ口，之竽１，

【÷笋，６】．若【÷笋，６】含有Ａ中的点，则将其记为

［口。，６．］，，否则，记ｆ口，竺笋１为［口。，６，］．再将［口。，６．］

定理３设｛［ｄ。，６。］｝是一闭区间套，则存在唯一Ⅱ∈Ｒ，使得Ｖ

证明

ｎ

Ｅ

ｚ＋，ａ∈［口。，６。］．

Ｖ几∈ｚ＋，

由｛［口。，６。］｝是一闭区间套ｊ

等分为两个闭区间【口。，生?笋】，【生笋，６。】，同样

偏右选取含有Ａ中的点的子区间为［口：，６：］．如此继续下去，便得一闭区间套｛［口。，６。］｝，且每个［口。，６。］含有＾中的点，但右边没有Ａ中的点．由｛６．｝有界，据致密性定理ｊ存在｛６。｝的子数列｛６。。｝收敛，

有口Ｉ≤…≤口。≤口。＋ｌ≤６。＋ｌ≤６。≤…≤６ｌ号递增数

列｛Ⅱ。｝与递减数列｛６。｝都有界，据致密性定理，存

在｛６。｝的子数列｛口。。｝收敛，记ｌ；Ｉｉｍ

６。。＝ａ．

由｛［口。，６。］｝是一闭区间套ｊｊｉｍ（６。。一口．。）＝ｏ

号地口～＝ｎ?由｛口。。｝及｛６。。｝的单调性等Ｖ矗Ｅ

ｚ＋，

记ｊｉｍ６。。＝卢，则ＪＢ即为Ａ的上确界．事实上，Ｖ石∈Ａ，

由Ｖ６。≥聋，Ｖ后Ｅ

●—＋∞

口∈［口叫６＾．］．又Ｖｎ∈ｚ＋，ｊ矗∈ｚ＋，使得［口＾‘’６～］ｃ［ｏ。，６。］号Ｖｎ∈ｚ＋，有ｎＥ［口。，６。］．下证ａ的唯

一性：假设Ｖｎ∈ｚ＋，也有卢∈［ａ。，６。］ｊＶｎ∈Ｚ＋，

ｚ＋等ｚ≤卢?由舰（６。．一口。。）＝ｏ（区

’‘—●∞

一

间套定义）及留６。。＝卢等恕口。。＝卢ｊＶ占＞ｏ，恕口～

＾—’∞

‘

有Ｏ≤ｌａ一卢Ｉ≤（６。一口。）．再虑及ｌｉｍ（６。一口。）＝Ｏｊ口

收稿日期：２００９一０４一０６

基金项目：河南省精品课程建设项目（高教［２００７］５９８号）

作者简介：彭培让（１９６２一），男，河南太康人，河南教育学院数学系副教授，研究方向：函数论、应用泛函分析

万方数据　

：ＪＢ．定理获证．

４有限覆盖定理的证明

Ｊ７ｖ，有ｌｚ。ｌ≤Ｉ戈ⅣＩ＋ｇ．取肘＝ｍａｘ｛ｌ石ＩＩ，ｌ菇２Ｉ，…，Ｉ

ｘⅣ

Ｉ，Ｉ龙Ⅳｌ＋１｝ｊＶｎ∈Ｚ＋，有ｌ茗。Ｉ≤Ｍ，即｛菇。｝有界．据致密性定理ｊ存在｛石。｝的子数列｛石。。｝收敛，记

定理４设Ｓ是闭区间［口，６］的一个开覆盖，则在５中必可选出有限个开区间，构成［口，６］的一个

开覆盖．

地算。。＝口?取，ｌＩ＞Ⅳ，且ｈ。。一口Ｉ＜占毒Ｖ

７上、下极限定理的证明

ｎ＞Ⅳ，有

Ｉ戈。一口ｌ≤１名。一茗。－Ｉ＋Ｉ茗。‘一口Ｉ＜２占＝，｛ｘ。｝收敛．

定理７有界数列｛茗。｝的上、下极限一定存在．

证明

证明假定定理结论不成立．将［ｏ，６］等分为

两个闭区间【口，竺笋】，【÷笋，６】，则其中至少有一

个记为［ｎ。，６。］，定理的结论对它不成立．再将［口。，

数列｛茗。｝有界ｊ了ｏ，６

Ｅ

Ｒ使得Ｖ凡∈

ｚ＋，石。Ｅ［口，６］．将［口，６］等分为两个闭区间

６。］等分为两个闭区间【口。，生÷生】＇【生笋，６Ｉ】，则

同样其中至少有一个记为［口：，６：］，定理的结论对它不成立．如此继续下去，便得一闭区间套｛［口。，６。］｝，且每个［口。，６。］不能被Ｓ有限覆盖．由｛６。｝的有界性，据致密性定理ｊ存在｛６。｝的子数列｛６。。｝收

【口，里笋】，【｝笋，６】，若【｝笋，６】含有｛菇。｝的无限

多项，则将其记为［。。，６。］，否则，记『口，生≯１为

［ｎ．，６．］．再将［口．，６，］等分为两个闭区间

敛，记恕６～＝手?由蚀（６～一口～）＝ｏｊ罂口～＝ｆ?

‘＿．蕾

。

●一∞

。’

■＿＋蕾

一

㈠半］，【半，６ｌ】，同样偏右选取含有ｋ｝

的无限多项的子区间为［口：，６：］．如此继续下去，便得一闭区间套｛［口。，６。］ｌ，且每个［口。，６。］含有｛名。｝的无限多项，但右边至多有｛菇。｝的有限项．由｛６。｝有界，据致密性定理穹存在｛６。｝的子数列｛髫。。｝收

显然孝∈［口，６］．由［ｎ，６］被Ｓ覆盖ｊ存在开区间（ｃ，

ｄ）∈ｓ，使得ｆ∈（ｃ，ｄ）?由蚀口～２罂６～＝亭ｊ存在

充分大的＿｜｝∈ｚ＋，［ｏ＾．＇６％］ｃ（ｃ，ｄ）．这与［口矿６～］不能被Ｓ有限覆盖矛盾．于是定理获证．

５聚点定理的证明

敛，记！ｉｍ６。。＝卢，则ＪＢ即为｛石。｝的上极限．事实上由

定理５数轴上任意有界无限点集至少有一个

聚点．

地（６～一口ｎ。）＝ｏ，及罂６。。＝卢ｊ罂８。。。却６～：

卢ｊＶ占＞０，存在充分大的Ｉ｜｝。∈ｚ＋，使得ＪＢ一占＜ｎ‰

证明设ｓ为有界无限点集．由Ｓ的无限性ｊ｜ｓ中有各项互异的点列｛茗。｝．由ｓ的有界性净｛省。ｌ有界．据致密性定理ｊ存在｛石。｝的子数列｛茗。。｝收敛，记ｌｉｍ菇。。＝ＪＢ弓Ｖ占＞０，存在充分大的‰Ｅｚ＋，使得Ｖ后＞‰，有卢一占＜石。。＜卢＋占，由点列｛戈。｝的各项互

异性ｊ口为Ｓ的聚点．６柯西收敛准则的证明

＜６。１０卢＋占，而［口。１０，６。ｈ］含有｛菇。｝的无限多项，但右边至多有｛茗。｝的有限项ｊ卢为｛石。｝的上极限．同理可证｛菇。｝的下极限的存在性．

参考文献

［１］华东师范大学数学系．数学分析：上册［Ｍ］．北京：高等教育出

版社．２００６．

定理６数列｛算。｝收敛的充分必要条件是｛茗。｝为柯西数列．

证明

［２］田立平，李洪齐．实数系基本定理的等价性［Ｊ］．河北理工学院学报，２００４，２６（４）：７０—７４．

只证充分性．由｛石。｝为柯西数列ｊＶ占

［３］段鹏举．实数连续性的八个等价命题［Ｊ］．宿州学院学报。

２００８．２３（１）：１０６一１０８．

＞０，ｊⅣ∈Ｚ＋，Ｖ，ｌ，ｍ≥，ｖ，有ｌ石。一髫。ｌ＜占＝》Ｖ凡＞

ＡＰｒｏｏｆｔｏＯｔｈｅｒＲｅａｌＮｕｍｂｅｒＣｏｎｔｉｎｕｉｔｖＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌ

ＴｈｅｏｒｅｍｓｂｙＣｏｍｐａｃｔＴｈｅｏｒｅｍ

ＰＥＮＧＰｅｉｒａｎｇ

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Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｒｏｖｅｓ

４５００４６，ｃ＾ｉ触）

ｔｈｅｏｔｈｅｒｒｅａｌｎｕｍｂｅｒｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｓｕｎｉｆｏｎｎｌｙｂｙｔｈｅｃｏｍｐａｃｔｔｈｅｏｒｅｍ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐａｃｔｔｈｅｏｒｅｍ；ｒｅａｌｎｕｍｂｅｒｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｓ

－２?

万方数据　

致密性定理证明其它实数连续性基本定理

作者：

作者单位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：彭培让河南教育学院,数学系,河南,郑州,450046河南教育学院学报（自然科学版）JOURNAL OF HENAN INSTITUTE OF EDUCATION(NATURAL SCIENCE)2009,18(3)

参考文献(3条)

1.华东师范大学数学系 数学分析 2006

2.田立平;李洪齐 实数系基本定理的等价性[期刊论文]-河北理工学院学报 2004(04)

3.段鹏举 实数连续性的八个等价命题[期刊论文]-宿州学院学报 2008(01)

本文读者也读过(10条)

1. 胡永生 浅谈致密性定理的不同证明方法[期刊论文]-中国校外教育(理论)2008(3)

2. 杨芳 实数连续性定理的互推[期刊论文]-内蒙古科技与经济2009(3)

3. 陈引兰 关于区间套定理与有限覆盖定理的两点注记[期刊论文]-中国科教创新导刊2010(2)

4. 张坤 用闭区间套定理证明实数系连续性的其他等价定理[期刊论文]-理科爱好者（教育教学版）2010,02(2)

5. 刘利刚.LIU Li-gang 实数系基本定理等价性的完全互证[期刊论文]-数学的实践与认识2008,38(24)

6. 陈芝辉.Chen Zhihui 实数连续性九个定理等价的证明[期刊论文]-南宁师范高等专科学校学报2007,24(2)

7. 段鹏举.DUAN Pengju 实数连续性的八个等价命题[期刊论文]-宿州学院学报2008,23(1)

8. 邓卫兵.Deng Weibing 五大实数基本定理的一种证明方法及应用[期刊论文]-广东轻工职业技术学院学报2005,4(1)

9. 任晓 实数连续性定理及其它[期刊论文]-西昌师范高等专科学校学报2001,13(3)

10. 朱永生.林立军 基于实数连续性定理等价的新探讨[期刊论文]-锦州师范学院学报(自然科学版)2003,24(2)

引用本文格式：彭培让 致密性定理证明其它实数连续性基本定理[期刊论文]-河南教育学院学报（自然科学版）2009(3)

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