《计算物理》第四章习题参考答案

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第四章《有限差分方法》习题参考答案
? ? 2? ( x, y ) ? 0, 1. 解：依题，对于拉普拉斯方程 ? ?? ( x, 0) ? ? ( x,1) ? 0, ? (0, y ) ? ? (1, y ) ? 1.

有限差分计算步骤如下： i).首先用正方形网格划分区域 D： 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1. 其中， xi ? h

i, y j ? hj, i, j ? 1,? , N , h ? ii).写出有限差分方程： 由微分的中心差值表示，
? ? 2? ? ?i ?1, j ? 2?i , j ? ?i ?1, j ? ? 2? ? ?i , j ?1 ? 2?i , j ? ?i , j ?1 , ? 2? ? . ? 2? ? h2 h2 ? ?x ?ij ? ?y ?ij

1 . N

有所求的拉普拉斯方程对应的差分方程表达式
1 ? ??i , j ? (?i ?1, j ? ?i ?1, j ? ?i , j ?1 ? ?i , j ?1 ) ? 0, (i, j ) ? D; 4 ? ? ?i , j ? gij , (i, j ) ? ?D. ?

引入层向量，
? ?1, j ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? j ? ? ? ? , j ? 1,? , N ? 1; ?? ? ?? ? ? N ?1 ? ? N ?1, j ? ? ? g 0, j ? ? ? 0 ? ? b1 ? ? 1 ? ? B ? ? ? ? , b j ? ? ? ? ? , j ? 2,? , N ; 4? ? ?b ? ? N ?1 ? ? 0 ? ? ?g ? ? N, j ?

? ? G ? ?? I ? 4 K ?? ? ? ? ? ? 0 ?

?

I 4

? ? I 4

G ? ?

? ? I 4

? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ?? 1 ? ? ? 4 ?, G ? ? I ? ? ? ? ? 4? ? ? ? 0 G ? ? ? K? ? B .

?

1 4

? ? ? ? 1 4

1 ? ?

? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 4? ? 1 ? ?

有差分方程：

iii).用迭代法解差分方程：
由 ? ? R? ? B, R ? I ? K .

有 ? ( k ) ? R? ( k ?1) ? B, ?i ( k ) ? ? Rij? j
j

( k ?1)

? Bi .

引入松弛因子
??
2 ? [1, 2], 其中(l ? 1)为每边节点数. 1 ? sin(? / l )

? ( k ?1) ? ?? GS ( k ?1) ? (1 ? ? )? ( k ) ? R? ? ( k ) ? ? ( I ? ? L) ?1 B, R? ? ? ( I ? ? L) ?1[?U ? (1 ? ? ) L].
?0 ? 0? ?0 ? ? ? ? 其中， L ? U ? R, L ? ? ? ? ? , U ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? 0? ? ?0 ? 0?

先赋初始值： ? (0) ? {?i(0) }, i ? 1,? , N . 再运用超松弛迭代法
( k ?1) (k ) ?ij( k ?1) ? ?? GS ij ? (1 ? ? )?ij

=?ij( k ) ?
当

?
4

) (k ) (k ) (k ) (k ) (?i(?k1, j ? ?i , j ?1 ? ?i ?1, j ? ?i , j ?1 ? 4?ij )

?(k ) ?
(k )

? ? 时，stop ! 其中，，移位矢量 ? ( k ) ? {? i( k ) } ? {?i( k ) ? ?i( k ?1) }.

4. 证：依题，中子扩散方程的形式为 ? 2? ? f ( x, y )? ? q( x, y ).

其中， f ( x, y) ? ?a 2 , q( x, y ) ? ? sin ? ?

?? y ? ? sin ? ?. ? L ? ? L ?

?x?

则依“五点差分”格式（正方形网格划分） ，
?ij ?
? 2 ? ? ? ih ? ? ? jh ? ? h sin ? L ? sin ? L ? ? (?i ?1, j ? ?i ?1, j ? ?i , j ?1 ? ?i , j ?1 ) ? ? ? ? ? ? ? 2 ? A? ? h S (i, j ) ? (?i ?1, j ? ?i ?1, j ? ?i , j ?1 ? ?i , j ?1 ) ? ? 1 4 ? a 2h2 1 ? ? ih ? ? ? jh ? , S (i, j ) ? sin ? ? sin ? ?. 2 2 4?a h ? L ? ? L ?

（1）

其中， A ?

由已知差分方程
? 8 ? ? h ?? ?ij ? S (i. j ) B, B ? ? a 2 ? 2 sin 2 ? ? ? . h ? 2L ?? ?
?1

有
?i ?1, j ? B sin ?
? (i ? 1)? h ? ? ? jh ? ? sin ? ? L ? ? ? L ? ? ? i? h ? ??h ? ? i? h ? ? ? h ? ? ? ? jh ? ? B ?sin ? ? cos ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? sin ? ?, ? L ? ? L ? ? L ?? ? L ? ? ? L ? ? (i ? 1)? h ? ? ? jh ? ? sin ? ? L ? ? ? L ? ? ? i? h ? ??h ? ? i? h ? ? ? h ? ? ? ? jh ? ? B ?sin ? ? cos ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? sin ? ?, ? L ? ? L ? ? L ?? ? L ? ? ? L ?

?i ?1, j ? B sin ?

?i , j ?1 ? B sin ?

? i? h ? ? ( j ? 1)? h ? ? sin ? ? L ? L ? ? ? ? i? h ? ? ? j? h ? ??h ? ? j? h ? ? ? h ? ? ? B sin ? ? ?sin ? ? cos ? ? ? cos ? ? sin ? ?? , ? L ?? ? L ? ? L ? ? L ? ? L ?? ? i? h ? ? ( j ? 1)? h ? ?i , j ?1 ? B sin ? ? sin ? ? L ? L ? ? ? ? i? h ? ? ? j? h ? ??h ? ? j? h ? ? ? h ? ? ? B sin ? ? ?sin ? ? cos ? ? ? cos ? ? sin ? ?? . ? L ?? ? L ? ? L ? ? L ? ? L ??

把上面四个式子代入方程（1）中，有
? ? ? ? h ?? ??h ? ? ?ij ? A ? h 2 S (i, j ) ? BS (i. j )4 ? ? ? =S (i, j ) ? Ah 2 ? AB[4 ? ?]? . ? L ?? ? L ?? ? ?

下面证明： B ? Ah 2 ? AB[4 cos ? ?

?] ， ? L ?

?h ?

（2）

h2 Ah 2 4 ? a 2h2 ? ??h ? ??h ? 2 2 1 ? 4 A cos ? ? 1 ? 4 cos ? ? / (4 ? a h ) ? L ? ? L ? 事实上，由于 1 1 ?B ? ? 4? ? ? h ? ? a 2 ? 4 sin 2 ? ? h ? 2 a ? 2 ? 1 ? cos ? ? ? ?? h2 h ? ? L ? ? L ??

显见， （2）式得证。也即
? ? ih ? ? ? jh ? ? 2 8 2 ? ? h ?? ?ij ? S (i, j ) B ? sin ? ? sin ? ? ? a ? 2 sin ? ?? . h ? L ? ? L ?? ? 2L ??
?1



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