应用数理统计参考答案
本文关键词：应用数理统计
2006 级硕士研究生《应用数理统计》 试题参考答案 （2007 年 1 月 12 日） 姓名：
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一、 选择题（每小题 3 分， 共 12 分） 1. 统 计 量~ ( )t nT分 布 ，则 统 计 量2T的(01)αα<<分 位 点2( {))x P Tαxαα=≤是（ B ） A. 212( )ntα−疰痃痂瘀瘅瘌 B. 12( )ntα+ C. 12( )ntα− D. 212( )ntα+疰痃痂瘀瘅瘌 2. 设随机变量~(0,1)XN,~(0,1)YN, 则（ C ） A. 2/XY 服从 t-分布
B. 22XY+服从2χ -分布 C. 2X 和2Y 都服从2χ -分布 D. 22/XY 服从 F-分布 3. 某四因素二水平试验， 选择正交表78(2 )L， 已填好 A, B, C 三个因子， 分别在第一， 第四， 第七列， 若要避免“杂混”， 应安排因子 D 在第（ B ）列。 A. 5 B. 2 C. 3 D. 6 78(2 )L交互作用表 1 (1)
2 3 (2)
3 2 1 (3)
4 5 6 7 (4)
5 4 7 6 1 (5) 6 7 4 5 2 3 (6) 7 6 5 4 3 2 1 (7) 4． 设总体 X 服从两点分布， 分布率为1{}(1)xxP Xxpp−==−， 其中 x=0 或1， p 为未知参数，12,,,nX XX餖是来自总体的简单样本， 则下面统计量中不是充分统计量的是（ D ）。 A. 1niiX=疱 B. 11niiXn=疱 C. 111niiXn=−疱 D. 11niiXpn=−疱 二、 填空题（每小题 3 分， 共 12 分）
1. 设12,,,nX XX餖是来自正态总体2(0,)Nσ的简单样本， 则常数 c=nmm−时统计量121miinii m= +疱cXX=疱服从 t-分布(1)mn≤≤， 其自由度为 n-m 。 2. 设12,,,nX XX餖是来自正态总体2( ,)N μ σ的简单样本， 其中2σ 已知。 则在满足 {}1P XaXbμα−≤≤+= −的均值 μ 的置信度为1 α−的置信区 间 类 {[,]: ,}Xa Xba b−+为常数 中 区 间 长 度 最 短 的 置 信 区 间 为（ [,]Xa Xa−+ ）。 3. 设12,,,nX XX餖是来自 正态总体2( ,)N μ σ的简单样本， 其中 μ 已知, 则2σ 的无偏估计22111−疱()n 1nkkSXX==−,22211()nnkk疱SXμ==−中较优的是（ 22 S ）。 4. 在双因素试验的方差分析中 ，， 总 方差T S 的分解中 包含误差平方和2111()pqrijEijkijkSxx •====−疱疱疱， 则ES 的自由度为（ (1)pq r− ）。 三、 （12 分） 设12,,,nX XX餖来自指数分布1,0( )f x0,0xexxθθ−痨痫>=痦痫痤≤的简单样本，（1）试求参数θ 的极大似然估计ˆθ ， 它是否是无偏估计？（2）求样本的 Fisher信息量； （3） 求θ 的一致方差无偏估计； （4） 问ˆθ 是否是θ 的有效估计？ 解： (1) 联合密度函数：}/ )iexp{();θ,,,(121疱=i−−=nnnXXXXLθθ餖
0lnθdln)(θln211=+−=−−=疱=θ疱=iθθθniiniXnLdXnL令 得到θ 的极大似然估计XXnii== 疱n=11ˆθ 00ˆ( )xyxEEXEXxf x dxe dxye dyθθθθθ−∞∞−∞−∞======痱痱痱 令xyθ= − 所以，X 是θ 的无偏估计。 (2) ln ( ; )lnxf x θθθ= −− 2223ln ( ; )f xθ∂12xθθθ∂=− 信息量22232ln ( ; )f xθ∂12θ1( )θ()ExIEθθθθ∂= −= −+= (3) 由于11( ; )f xexp{}xθθθ=−• 1( )w θθ= −的值域包含内点， 所以1(x)niiTX==疱是充分统计量 X 是 (x)T 的函数并且为θ 的无偏估计， 所以 X 为 UMVUE。 （4）20222220( )2θxyxθEXx f x dxe dxy e dyθθ−∞∞−∞−∞====痱痱痱 222()DXEXEXθ=−= 21ˆDDXDXnnθθ === 方差下界为' 22( )θ( ( ))( )θVar T xnInθ== 因为ˆDθ 达到了方差下界， 所以ˆXθ =是θ 的有效估计。 四、 （6 分， A 班不作） 在多元线性回归YXβε=+中， 参数 β 的最小二乘估
计 为'1'ˆ()X XX Yβ−=，残 差 向 量 为'1'ˆ(())eY Y−IX X XX Y−==−。令'1''1'ˆ()(())X XX YZeIX X XX Yβ疰 瘀痃痂 瘌−−疰痃痂瘀瘅瘅瘌==痃瘅−， 当2~(0,)NIεσ时， Z 服从多元正态分布。试证明ˆβ 和 e 相互独立。 证明：'1''1'ˆ( , )β((()) ,())Cov eCov IX X XX Y X XX Y−−=−
'1''1' ')(())( , )(()IX X XX Cov Y YX XX−−=−
'1'2'1(())σ()IX X XXIX X X−−=−
2'1'1''1[()()() ]I X X XX X XX X X Xσ=−−−−
2'1'1[()() ]0I X X XX X Xσ=−−−= 所以，ˆβ 和 e 相互独立。 五、 （6 分， A 班不作） 设某切割机切割金属棒的长度 X 服从正态分布， 正常工作时， 切割每段金属棒的平均长度为 10. 5cm。 某日为了检验切割机工作是否正常， 随机抽取 15 段进行测量， 得样本均值10.48xcm=， 样本方差220.056scm=。 在显著性水平0.05α =下， 试问该切割机工作是否正常？（0.950.9750.950.975t1.64,1.96,(14)1.7613,(14)2.1448zzt====） 解： 设检验问题为：0:10.5Hμ = 1:10.5Hμ ≠ 选择枢轴量 ( )~ (1)/xT xt nsnμ−=−， 由0.975t{ ( )P T x(1)}nα=≥−，0.975(14)t2.1448= 得拒绝域为{ ( )T x2.1448}W=≥ 代入20.056,10.48sx==得10.48 10.50.32732.1448/0.056 /15xTsnμ−−===< 所以不拒绝0H ， 即认为该切割机工作正常。 六、 （6 分， B 班不作） 设2~( ,)XN θ σ，12,,,nX XX餖为来自 X 的样本， 并设θ 的先验分布为2~( ,μ τ)Nθ，2, μ τ 已知， 则可知均值θ 的 Bayes 估计为
22221ˆ1nXσnμτθστ+=+ 试通过此例说明 Bayes 估计的特点。 答： Bayes 估计有以下特点： 1. 若只有先验信息而无样本时， 式中0,0Xn== ， 则ˆθμ=， 所以只能用先验分布估计未知参数； 2. 若只有样本信息而不知道先验分布时， 式中2, μ τ 去除， 则ˆXθ =， 所以用样本的均值可以作为未知θ 的估计； 3. 当两种信息都存在时， Bayes 估计是两种信息量的加权平均。 可见， Bayes能够较好的综合先验信息和样本信息， 使估计的结果更精确。 七、 （6 分， B 班不作） 设12,,,nX XX餖是来自正态总体2(0,)Nσ的简单样本，考虑检验问题 20:1Hσ =
21:2H σ = 在显著水平0.05α =下， 求最优检验（MP） 的拒绝域。 解： 联合密度函数记为212(,,,;)nL X XX σ餖 设检验 ( ) x帐撬轿
本文编号：1300543
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