人体体重变化的数学模型

  本文选题：数学模型 + 生理学　

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人体体重变化的规律是一个非常复杂的问题,至今尚未得到比较好的数学模型来描述人体体重变化的规律。无疑,研究它具有重大的实际意义。诸如青少年生长发育,控制给养,健美减肥,运动员赛前减重,跳高运行员的体重与体能比的研究等等,都需要得到科学的指导。我们基于生理学的理论,建立了人体体重变化的数学模型,并利用大量数据,对该模型进行了检验。l模型假设少,根据实际情况,我们对模型作如下假设:I.某人(或代表某个民族特征的“人”)吃普通混合膳食I2.膳食可维持正常的生理活动,过剩的能量全部转化为脂肪;3.刚出生时,身高的增长速度约为体重增加速度的四倍,随后,这个倍数逐渐减4.身高达到最大高度后,就近似地认为不再变化。2模型的建立 记某人,时刻(天)的体重为∥(r)(k g),身高为日(,)(cm),摄入的热量为彳(,)(4.187kJ即lkcal:)I活动消耗的热量为B(∥(f),f)(4.1 87kJ);基础代谢所消耗的能96 江苏工学院学报 1993年量(即进食15 h后在静卧状态下所消耗的能量)为K(t)·S(形(,),Ⅳ(r)),其中:K(t)为单位人体表面基础代谢能量(4.187kJ/m。),S(形(r),日(f))为体表面积(m‘);由于食物具有特殊动力作用,人体进食后,能量代谢加强使人体对外界散热比进食前增加,此外,根据生理学的知识,日常一天三餐,所以,食物的特殊动力作用的消耗的热量为0.3K(t)·S(∥(f),胃(f)). 记t。为身高达到最大高度的时刻,芦为人体对食物的吸收率。人体吸收而未消耗的热量全部转化为脂肪,关系式为 lkg脂肪=9450×4.187kJ热量 (1) 根据模型假设及能量守恒原理,可得下列数学模型警=志L“肌)一日(形(r)’r)一1.3K(r).s(∥∽,肌))】百dH=凡)d矿W O≤r旬。警=击州,)_删(r)∽_113肌¨(毗腓』】 他’ ,>,…∥(O)=∥o,Ⅳ(O)=H。 在上述数学模型中,人体体表面积S(∥(,),片(f))依Stevenson公式有 S(F矿(r),』7(f))=0.006 IH(t)+0.012 8w(t)一O.152 9 (3)式中量纲规定如前:日(r)为cm,∥(r)为kg,s(渺(f),日(r))为in。.另外,W。和H。分别为出生时的体重和身高。 普通混合膳食食物中各成分的吸收率不同,有资料表明,普通混合膳食食物的总吸收率取 ’ /a。O.965 (4) 其他如单位人体表面基础代谢量K(r),体重变化率与身高变化率之间的关系函数厂(f),活动消耗能量B(∥(f),t)等都与性别有关。 下面以男子情形为背景作进一步讨论,其他情形可仿此得到有关结果。 根据人体基础代谢率表(男子)提供的数据,用最小二乘法进行拟合得 K(f)。exp卜5_59×10～×去+7.03] (5) 对于男子,取f。=22×365. 活动消耗占(渺(f),f)的确定比较复杂。在同样条件下,体重越大,人体消耗的热量也越多I身高增长越快,人体消耗的热量也越多,身高达到最大高度后,人体消耗的热量将减少。其于上述分析及有关资料川,可得 B(缈(,),r)=∥(,)(27一r/365)0≤r≤22×365 B(∥(r),t)=形(f)(O.03t/365+4.34)t>22×365 厂(f)=exp(一O.113 r/365+1.596)这样,我们得到关于男子体重变化的数学模型(6)(7)(8)第4期储志俊等人体体重变化的数学模型 97警。丽1[o.965A(r)。一咖)(27一去D-1.3(exp[-5.59×l。气去 +7.03】)·(o.006 IH(t)+0.012 8w(t)一o.152 9)]警=exp[-。川3 x甭t¨596])警 0≤,≤22×365警=去[o.965A(r)_毗)(o.03×甭t+4.34)_1.3{ex旷5.59 x 10一’×甭t+7.03】).(o-006 IH(22×365)+0.012 8w6)-o.152 9)] t>22 x 365 ∥(D)=W。 日(O)=日。 上述模型中,∥o和H。分别为出生时的体重和身高。摄入热量彳(f)是控制量,体重∥(,)和身高Ⅳ(f)随彳(r)的变化而变化。3模型检验 下面以1969年日本公众卫生局所统计的“日本人所需要的热量表”给出的数据为基础,给出了控制量爿(r),我们以 H(365)=79.9 cm (10) W(365)=10.83 kg (11)为初值,以步长为l×365,用龙格一库塔方法求得了相应的W(t)和日(f).所得结果与日本公众卫生局1970年公布的“日本人的身高、体重平均植”相比较,非常接近,从而说明,上述数学模型较好地描述了人体体重变化的规律。 人体(男子)体重的理论数据∥(,)与实际数据形(r)对照如表1. 表1男子体重的理论数据与实际数据比较Tab.1 Comparison of calculated and measured results for human body weight┏━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┓┃年龄 ┃ l ┃ 2 ┃ 3 ┃ 4 ┃ 5 ┃ 6 ┃ 7 ┃ 8 ┃ 9 ┃ lO ┃ ll ┃┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━┫┃爿(f) ┃ l 060 ┃ l 215 ┃ 1 340 ┃ 1 455 ┃ l 550 ┃ l 670 ┃ l 795 ┃ l 910 ┃ 2 020 ┃ 2 140 ┃ 2 300 ┃┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━┫┃ 缈(,) ┃ 10.83 ┃ 12.94 ┃ 14.60 ┃ 16.55 ┃ 18.12 ┃ 19.90 ┃ 22.95 ┃ 24.6l ┃ 28.08 ┃ 29.89 ┃ 33.95 ┃┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━┫┃矿(,) ┃ 10.83 ┃ 12.94 ┃ 14.63 ┃ 16.50 ┃ 17.90 ┃ 19.9l ┃ 22.47 ┃ 24.97 ┃ 27.64 ┃ 30.44 ┃ 33.53 ┃┗━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┛┏━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┓┃年龄 ┃ 12 ┃ 13 ┃ 14 ┃ 15 ┃ 16 ┃ 17 ┃ 18 ┃ 19 ┃ 20 ┃ 2I ┃ 22 ┃┣━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━┫┃爿(f) ┃2 495 ┃ 2 674 ┃ 2 800 ┃ 2 800 ┃ 2 875 ┃ 2 830 ┃ 2 755 ┃ 2 680 ┃ 2 625 ┃ 2 545 ┃ 2 460 ┃┣━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━┫┃∥(f) ┃ 38.17 ┃ 44.09 ┃ 48.88 ┃ 53.09 ┃ 57.13 ┃ 57.35 ┃ 58.36 ┃ 57.88 ┃ 57.97 ┃ 58.50 ┃ 58.19 ┃┣━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━┫┃旷(,) ┃38.53 ┃ 43.84 ┃ 49.20 ┃ 53.02 ┃ 57.14 ┃ 57.78 ┃ 57.40 ┃ 57.99 ┃ 58.08 ┃ 59.13 ┃ 58.81 ┃┗━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┛对于23岁以后的数据,理论数据与实际数据同样非常接近,限于篇幅,这里就不再列出。4讨论 本模型较好地反映了人体体重变化的规律,此外: 1.依靠本文所建立的数学模型,在生理因素限制的前提下,合理选择摄入量4(f),活动消耗热量日(∥(,),r),使人体在某个时间间隔内从原来某体重变化到理想的体重是容易做到的,这对于体育竞赛等是极为重要的。 2.作适当修改,取合适的生理参数,本模型也可描述其它动物体重变化的规律。 3.在生理活动不正常时,生理参数口就应调整为p(f). 4.七大营养素中只有蛋白质、脂肪、碳水化合物和氧气能提供热量。氧气来自空气,其重量可忽略。而微生素、无机盐、水等具有一定的重量,它们在人体内的积累和散失在模型中没有能够考虑,我们将在另文中加以考虑。人体体重变化的数学模型@储志俊$江苏工学院 @沈有道$安徽师范大学数学模型;;生理学;;龙格-库塔方法;;人体体重本文基于生理学理论和实际数据,以身高H(t)、体重W(t)为基本量,建立了一个分段表示的一阶常微分方程组作为人体体重变化的数学模型,并对该模型进行了讨论。经检验,理论数据与实际数据吻合得很好,说明该模型较好地描述了人体体重变化的规律。1 姜启源.数学模型.北京:高等教育出版社,1987. 2 李庆扬等.数值分析.武汉:华中工学院出版社,1985. 3 (日)石井喜八等著;王起然等译.运动生理学概论,北京:人民体育出版社,1988. 4 武汉医学院主编,营养与食品卫生学.北京:人民出版社,1985.

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